Eksperimentel sandsynlighed

Matematik · 3.-6. klasse · Statistik og sandsynlighed

Eksperimentel sandsynlighed — bevise det selv 🔬

Der er to slags sandsynlighed:

1. Teoretisk sandsynlighed = beregnet matematisk

2. Eksperimentel sandsynlighed = målt ved at lave forsøget

Teoretisk sandsynlighed

Beregnet ud fra mulige udfald:

P(krone) = 1/2 (en mønt har 2 sider, krone er 1 af dem)

P(6 på terning) = 1/6 (terning har 6 sider, 6'er er 1 af dem)

Eksperimentel sandsynlighed

Fundet ved at LAVE forsøget mange gange:

Hvis du kaster en mønt 100 gange og får krone 53 gange:

P(krone) = 53/100 = 0,53

Forskel teoretisk vs. eksperimentel

• Teoretisk: matematisk forventning (PRESIS)
• Eksperimentel: faktisk resultat (TILFÆLDIGT)

De er sjældent helt ens — fordi forsøg er TILFÆLDIGE.

Lov om store tal

Vigtigt princip: Jo FLERE forsøg, jo TÆTTERE kommer eksperimentel sandsynlighed på teoretisk.

Mønt-eksperiment:

• Kast 10 gange: måske 6 krone (60 %)
• Kast 100 gange: måske 53 krone (53 %)
• Kast 1000 gange: måske 502 krone (50,2 %)
• Kast 10000 gange: måske 5000 krone (50,0 %) — meget tæt på teoretisk!

Eksempel-eksperiment

Mål: Test P(slå 6 på terning)

Trin 1: Forventet (teoretisk) = 1/6 ≈ 17%

Trin 2: Lav forsøg — kast en terning 60 gange

Trin 3: Tæl antal 6'er. Lad os sige 12.

Trin 4: Eksperimentel P = 12/60 = 0,2 = 20 %

Trin 5: Sammenlign: 20 % vs. 17 % (ret tæt!)

Med flere kast ville eksperimentet komme tættere på 17 %.

Hvorfor lave eksperimenter?

• Bekræfte teori (ja, det er ca. 50/50)
• Teste hypoteser (er denne mønt fair?)
• Lære om tilfældighed
• Finde sandsynligheder vi ikke kan beregne

Teoretisk sandsynlighed kan IKKE altid beregnes

Nogle ting har vi ikke en formel for:

• "Hvad er sandsynligheden for at det regner i morgen?"
• "Hvad er sandsynligheden for at vinde Mega Millions?" (ja den kan, men kompleks)
• "Hvad er sandsynligheden for at en bestemt vacciner virker?"

→ Vi bruger EKSPERIMENTEL data (statistik fra fortiden, kliniske studier).

Eksempel: vejret

Vejrudsigterne siger ofte "30% chance for regn".

Det er BASERET PÅ:

• Historiske vejrdata
• Lignende vejrforhold tidligere
• Modeller af atmosfæren

Det er eksperimentel sandsynlighed — ikke teoretisk!

Lave eget eksperiment

Eksempel: Test om en bestemt mønt er FAIR

Trin 1: Kast 100 gange

Trin 2: Tæl krone og plat

Trin 3: Beregn:

• Hvis ca. 50/50 → mønten er FAIR
• Hvis fx 70/30 → mønten kan være SKÆV

Tjek dine resultater!

Tabellér resultater

```

Kast # | Resultat | Total krone | Total plat

1 | krone | 1 | 0

2 | plat | 1 | 1

3 | krone | 2 | 1

...

100 | plat | 51 | 49

```

Eksperimentel P(krone) = 51/100 = 0,51

Meget tæt på teoretisk 0,5!

Pas på små stikprøver

Lille stikprøve = stor variation:

Kast en mønt 10 gange. Du KAN få 8 krone, 2 plat (80 %!).

Dette betyder IKKE at mønten er skæv. Det betyder at 10 kast er FOR FÅ.

For at sige noget meningsfuldt: kast mindst 100 gange (helst 1000).

Forskel teoretisk vs. eksperimentel

```

Kast | Teoretisk | Eksperimentel

10 | 0,5 | Kan variere meget

100 | 0,5 | Tæt på 0,5

1000 | 0,5 | Meget tæt

10000| 0,5 | Næsten præcis

```

Hverdagseksempler

• Sport-statistik: vinder-procent over mange kampe
• Medicin: test om en pille virker (klinisk forsøg på 1000 patienter)
• Sikkerhed: test om en bil er sikker (crash-tests)
• Forsikring: beregn risiko ud fra historisk data

Pas på fælder

• For få forsøg: giver upålidelige resultater
• Bias: sørg for at forsøget er FAIR
• Tilfældighed: selv 1000 kast kan give afvigelse fra teoretisk

Læringsmål

• Skelne teoretisk og eksperimentel sandsynlighed
• Lave egne eksperimenter med mønter, terninger osv.
• Beregne eksperimentel sandsynlighed som gunstige/total
• Sammenligne med teoretisk sandsynlighed
• Forstå loven om store tal: flere forsøg = tættere på teoretisk
• Vide at små stikprøver giver upålidelige resultater

Eksperiment-træning 🔬

Mønt-eksperiment: Kast en mønt 50 gange. Tæl krone og plat. Beregn eksperimentel P(krone). Hvor tæt på 50%?

Terning-eksperiment: Kast en terning 60 gange. Tæl hver side. Stemmer det med 1/6 hver?

Lov om store tal: Sammenlign dine resultater fra 50 kast vs. 200 kast. Hvilken er tættest på teoretisk værdi?