Eksponentielle funktioner (y=b·a^x)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Eksponentielle funktioner — kraftig vækst 📈

En eksponentiel funktion har form: y = b × aˣ

Dette er ANDERLEDES end lineære — eksponentielle funktioner vokser MEGET hurtigere.

Variable forklaret

• b = STARTVÆRDI (når x = 0)
• a = VÆKSTRATE
• a > 1: VÆKST
• 0 < a < 1: FALD
• a = 1: KONSTANT (men så er det ikke eksponentiel)

Eksempel: opsparing

y = 1000 × 1,05ˣ

• b = 1000 (start: 1000 kr)
• a = 1,05 (5% vækst pr. enhed)

Efter 1 enhed: y = 1000 × 1,05 = 1050

Efter 2: y = 1000 × 1,05² = 1102,5

Efter 5: y = 1000 × 1,05⁵ ≈ 1276

Efter 10: y = 1000 × 1,05¹⁰ ≈ 1629

Efter 20: y = 1000 × 1,05²⁰ ≈ 2653

Procentvis vækst

Vækstrate som procent: (a - 1) × 100 %

Eksempel:

• a = 1,05 → vækst på 5 %
• a = 1,10 → vækst på 10 %
• a = 1,2 → vækst på 20 %

Procentvis fald

Eksempel: y = 100 × 0,9ˣ

• b = 100 (start)
• a = 0,9
• Procentvis fald: (1 - 0,9) × 100 = 10 % pr. enhed

Lineær vs. eksponentiel

Lineær (y = ax + b):

• Tilføjer SAMME mængde hver gang
• Ret linje i koordinatsystem

Eksponentiel (y = b × aˣ):

• Ganger med SAMME faktor hver gang
• Stigende kurve (eller faldende)

Sammenligning

Start 100, "vækst 5":

Lineær (+5):

100, 105, 110, 115, 120, ..., 150 (efter 10)

Eksponentiel (×1,05):

100, 105, 110.25, 115.76, 121.55, ..., 162.89 (efter 10)

Efter 30 perioder:

• Lineær: 250
• Eksponentiel: 432

Eksponentiel vinder DRAMATISK!

Eksponentiel vækst i hverdagen

Renter: y = K × (1 + r)ˣ

Befolkning: Verdens befolkning vokser eksponentielt (men slowing down)

Virus-spredning: SARS, COVID — eksponentiel spredning i begyndelsen

Teknologi: Moore's lov (computere fordobles hver 2 år ≈ vækst 35%/år)

Sociale medier: virale videos

Atomer: halveringstid (eksponentielt fald)

Halveringstid

For radioaktive stoffer (eller andre eksponentielle fald):

```

y = b × (1/2)^(x/t)

```

hvor t er halveringstiden.

Eksempel: Carbon-14 har halveringstid 5730 år.

• Efter 5730 år: 50% tilbage
• Efter 11460 år: 25%
• Efter 17190 år: 12,5%

Tegne eksponentiel funktion

Lav en TABEL med flere x-værdier:

```

x | y = 2 × 3ˣ

0 | 2

1 | 6

2 | 18

3 | 54

4 | 162

```

Plot punkterne, forbind med GLAT KURVE.

Genkende eksponentiel data

Når data fordobles, halveres, eller ganges med samme faktor med ens tids-intervaller — det er EKSPONENTIELT.

Eksempel: En bakteriekultur fordobles hver time.

• Time 0: 100 bakterier
• Time 1: 200
• Time 2: 400
• Time 3: 800
• Time 8: 25.600!

"Den dobbelte rispris"-historie

En klassisk historie om en konge der lovede en mand 1 ris-korn på første felt af et skakbræt, 2 på næste, 4, 8, 16... fordoblet hver gang.

Efter 64 felter: ca. 18 trillioner ris-korn — mere end ALLE menneskers samlede risproduktion gennem historien!

Eksponentiel vækst er undervurderet.

Pas på

• a som decimal: 5 % vækst → a = 1,05 (IKKE 0,05)
• Procent fald: a = 1 - r (10% fald → a = 0,9)
• Eksponentiel vs. polynomial: y = x² er IKKE eksponentiel — y = 2ˣ er!
• Logaritmer: for at LØSE eksponentielle ligninger (lærer du på STX)

Læringsmål

• Genkende eksponentielle funktioner på formen y = b × aˣ
• Aflæse b (startværdi) og a (vækstrate) fra ligning
• Beregne procentvis vækst (a - 1) × 100
• Skelne lineær og eksponentiel vækst
• Bruge i renteberegninger og halveringstid
• Forstå hvor kraftig eksponentiel vækst er over tid

Eksponentiel-træning 📈

Beregne: For y = 200 × 1,1ˣ, find y når x = 5, 10, 20.

Procent: Hvis a = 1,03, hvad er procentvis vækst? Hvis a = 0,8, hvad er procentvis fald?

Sammenligning: Tegn y = 100 + 10x og y = 100 × 1,1ˣ for x = 0 til 30. Hvilken er størst i slutningen?