Ligningssystemer (grafisk + algebraisk)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Ligningssystemer — to ligninger, to ubekendte 📊

Et ligningssystem har FLERE ligninger med flere variable. På 7.-9. klasse-niveau løser vi systemer med 2 ubekendte (oftest x og y).

Eksempel-system

```

x + y = 10

x - y = 2

```

Mål: find x og y der opfylder BEGGE ligninger.

Algebraisk løsning — 3 metoder

Metode 1: Addition (mest brugt)

Læg de to ligninger sammen:

```

x + y = 10

+ x - y = 2

─────────────

2x = 12

x = 6

```

Indsæt i én ligning: 6 + y = 10 → y = 4

Tjek: 6 + 4 = 10 ✓, 6 - 4 = 2 ✓

Metode 2: Substitution

Isolér én variabel og indsæt:

Fra ligning 1: y = 10 - x

Indsæt i ligning 2: x - (10 - x) = 2

2x - 10 = 2

2x = 12

x = 6 → y = 4

Metode 3: Lige store koefficienter

Gang ligningerne så koefficienterne bliver ens:

```

2x + 3y = 12

x - y = 1

```

Gang anden med 2:

```

2x + 3y = 12

2x - 2y = 2

```

Træk: 5y = 10 → y = 2 → x = 3

Grafisk løsning

Tegn begge ligninger som linjer i koordinatsystem.

Skæringspunktet er løsningen.

Eksempel: x + y = 10 og x - y = 2.

På graf mødes de i punktet (6, 4).

Forberede ligning til tegning

Skriv på formen y = ax + b:

Fra x + y = 10: y = -x + 10

Fra x - y = 2: y = x - 2

Nu kan du tegne:

• y = -x + 10 (hældning -1, skærer y i 10)
• y = x - 2 (hældning 1, skærer y i -2)

De mødes i (6, 4).

3 typer løsninger

1. Én løsning (linjer skærer hinanden i ét punkt) — almindelig

2. Ingen løsning (linjer er PARALLELLE, mødes aldrig)

Eksempel:

```

x + y = 5

x + y = 10

```

Umuligt — ingen løsning.

3. Uendelig mange løsninger (linjer er IDENTISKE)

Eksempel:

```

2x + 2y = 10

x + y = 5

```

De er samme linje. Alle punkter på linjen er løsninger.

Hverdagsanvendelse

Eksempel: blanding

"Du blander 2 slags slik. Type A koster 30 kr/kg, type B koster 50 kr/kg. Du vil have 4 kg blanding der koster 35 kr/kg."

Lad x = kg type A, y = kg type B.

```

x + y = 4 (total mængde)

30x + 50y = 4 × 35 = 140 (total pris)

```

Løs: x = 3, y = 1.

3 kg af type A og 1 kg af type B.

Eksempel: alder

"Anna er 5 år ældre end Peter. Tilsammen er de 25 år."

Lad x = Peter, y = Anna.

```

y = x + 5

x + y = 25

```

Løs: x = 10, y = 15.

Peter er 10, Anna er 15.

GeoGebra-tip

Indtast begge ligninger i GeoGebra:

• y = -x + 10
• y = x - 2

GeoGebra tegner dem og viser SKÆRINGSPUNKTET automatisk!

CAS-tip

I WordMat eller Wolfram Alpha:

```

solve(x + y = 10, x - y = 2)

```

Får: x = 6, y = 4.

Læringsmål

• Løse ligningssystemer algebraisk (addition, substitution, lige koefficienter)
• Løse grafisk ved at tegne to linjer og finde skæringspunkt
• Forstå at skæringspunkt = løsning
• Genkende systemer med ingen eller uendelig mange løsninger
• Anvende ligningssystemer på hverdagsopgaver (blanding, alder)
• Bruge GeoGebra eller CAS til at løse

System-træning 📊

Algebraisk: Løs systemet x + 2y = 7, 3x - y = 5.

Grafisk: Tegn y = 2x - 1 og y = -x + 5 i et koordinatsystem. Find skæringspunkt.

Hverdagsopgave: Du køber 3 æbler og 2 pærer for 35 kr. Senere køber du 1 æble og 4 pærer for 30 kr. Hvad koster ét æble? Én pære?