Procentuel vækst (renteformel K_n=K_0·(1+r)^n)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Renteformlen — eksponentiel vækst 📈

Når noget vokser med samme PROCENT gentagne gange, bruger vi renteformlen:

```

Kₙ = K₀ × (1 + r)ⁿ

```

Dette er en af matematikens VIGTIGSTE formler — den styrer renter, befolkning, virus-spredning og meget mere.

Forklaring af variable

• K₀ = startværdi (kapital, befolkning, antal)
• Kₙ = værdi efter n perioder
• r = vækstrate som decimal (5 % = 0,05)
• n = antal perioder (år, måneder)

Eksempel: opsparing

"1000 kr. på konto med 3 % rente i 5 år. Hvor meget?"

• K₀ = 1000
• r = 0,03 (3 %)
• n = 5

Beregning:

K₅ = 1000 × (1,03)⁵ = 1000 × 1,159 ≈ 1159 kr.

Du får 159 kr. ekstra (renterne).

Hvorfor er det "rentes-rente"?

År 1: rente på 1000 → 1030 kr.

År 2: rente på 1030 (ikke kun 1000!) → 1060,90 kr.

År 3: rente på 1060,90 → 1092,72 kr.

... osv.

Renter får RENTER. Det er rentes-rente.

Vækst og fald

Vækst (r > 0): K vokser

Eksempel: befolkning vokser 2 % årligt → r = 0,02

Fald (r < 0): K falder

Eksempel: bil mister 15 % i værdi årligt → r = -0,15

Procentvis fald

```

Kₙ = K₀ × (1 - r)ⁿ

```

Eksempel: En bil koster 200.000. Den mister 15 % årligt.

Efter 5 år: 200.000 × (1 - 0,15)⁵ = 200.000 × 0,4437 ≈ 88.700 kr.

Beregne r ud fra to tal

Givet K₀ og Kₙ, find r:

Kₙ = K₀ × (1 + r)ⁿ

→ Kₙ/K₀ = (1 + r)ⁿ

→ ⁿ√(Kₙ/K₀) = 1 + r

→ r = ⁿ√(Kₙ/K₀) - 1

Eksempel: 1000 → 1500 på 5 år. Hvad er r?

→ r = ⁵√(1500/1000) - 1 = ⁵√1,5 - 1 ≈ 0,0845 = 8,45 %

Beregne n ud fra K

Hvor mange år før kapital fordobles?

Eksempel: 1000 kr., 5 % rente. Hvor længe før 2000?

2000 = 1000 × (1,05)ⁿ

2 = 1,05ⁿ

n = log(2)/log(1,05) ≈ 14,2 år

(Logaritmer lærer du på STX)

"Reglen om 72"

Hurtig genvej til fordoblingstid:

Fordoblingstid ≈ 72 / r (i procent)

Eksempel: 5 % rente → fordobles på 72/5 ≈ 14,4 år

10 % rente → fordobles på 72/10 ≈ 7,2 år

Eksponentiel vs. lineær vækst

Lineær: +5 hver gang (samme tilskud)

Eksempel: 100, 105, 110, 115, 120... efter 10 perioder = 150

Eksponentiel: ×1,05 hver gang (samme procent)

Eksempel: 100, 105, 110,25, 115,76, 121,55... efter 10 perioder = 162,89

Eksponentiel vækst er KRAFTIGERE i det lange løb!

Anvendelser

Økonomi:

• Bankrenter
• Investeringer
• Inflation

Befolkning:

• Vækst i lande
• Spredning af art

Virus:

• Smittespredning (R-tal er en form for vækstrate)

Teknologi:

• Moore's lov (computere fordobles hver ~2 år)

Pas på

• Procent som decimal: 5 % = 0,05 (IKKE 5)
• (1 + r) ikke r: glem ikke at tilføje 1
• n år vs. n måneder: sørg for konsistens

Læringsmål

• Bruge renteformlen Kₙ = K₀ × (1 + r)ⁿ
• Forstå rentes-rente effekten
• Beregne fremtidig værdi for opsparing eller fald i værdi
• Bruge "reglen om 72" til hurtig fordoblingstid
• Skelne lineær og eksponentiel vækst
• Anvende formlen i hverdagseksempler (rente, befolkning, fald i værdi)

Renteberegninger 💰

Opsparingsspil: Hvis du sparer 1000 kr. ved 3 %, 5 % og 10 %, hvor meget har du efter 10 år?

Bil-værdi: En bil koster 250.000 og mister 15 % i værdi årligt. Hvad er den værd efter 8 år?

Reglen om 72: Hvis renten er 6 %, hvor lang tid før dine penge fordobles? Tjek med renteformlen.