Reelle tal (irrationale: √2, π)

Matematik · 7.-9. klasse · Tal og algebra

Reelle tal — talsystemets fulde billede 🔢

De reelle tal er ALLE tal på tallinjen — fra de naturlige tal vi tæller med, til de irrationale tal med uendelige decimaler.

Tal-systemets hierarki

```

Komplekse tal (ℂ)

└── Reelle tal (ℝ)

├── Rationale tal (ℚ)

│ ├── Hele tal (ℤ)

│ │ └── Naturlige tal (ℕ)

│ └── Brøker

└── Irrationale tal

```

Naturlige tal (ℕ)

0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

De vi bruger til at TÆLLE.

Hele tal (ℤ)

... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Naturlige tal + negative tal.

Rationale tal (ℚ)

Alle tal der kan skrives som BRØK p/q (hvor p og q er hele tal, q ≠ 0):

• 1/2, -3/4, 7, 0,25 (= 25/100)
• ALLE decimaltal med ENDELIGT antal decimaler er rationale
• Decimaltal med GENTAGENDE mønster er rationale (1/3 = 0,333...)

Irrationale tal

Tal der IKKE kan skrives som brøk:

• √2 ≈ 1,41421356... (uendeligt mange decimaler, intet mønster)
• π ≈ 3,14159265... (forholdet i cirkler)
• e ≈ 2,71828... (Eulers tal, lærer du på STX)
• √3, √5, √7 (rødder af tal der ikke er perfekte kvadrater)

Bevis: √2 er irrational (klassisk)

Antag √2 = p/q (forkortet, så p og q har ingen fælles faktor).

→ 2 = p²/q²

→ 2q² = p²

→ p² er lige, derfor er p lige

→ p = 2k for et heltal k

→ 2q² = (2k)² = 4k²

→ q² = 2k²

→ q² er lige, derfor er q lige

Men vi sagde p og q har ingen fælles faktor! Modsigelse.

Konklusion: √2 er IRRATIONAL.

Sjov fakta om reelle tal

Der er FLERE irrationale tal end rationale.

• Rationale: TÆLLELIGT mange (matchende med heltallene)
• Irrationale: UTÆLLELIGT mange (kontinuum)

De rationale tal er som "støv" på en tallinje fyldt med irrationale tal!

Praktisk brug

• π i cirkler: A = πr², omkreds = 2πr
• √ i Pythagoras: c = √(a² + b²)
• Decimaltal i målinger: 1,5 m, 0,75 kg
• Brøker i opskrifter: 1/2 kop, 3/4 spsk

Approksimationer

For at regne med irrationale tal bruger vi APPROKSIMATIONER:

```

Irrationale | God approksimation

π | 3,14 eller 3,14159

√2 | 1,41 eller 1,414

√3 | 1,73 eller 1,732

e | 2,72 eller 2,718

```

Pas på

• Brøk på lommeregner: kan vise decimal som approksimation
• Eksakt vs. approksimeret: π/2 (eksakt) vs. 1,57 (approksimation)
• Skrive svar: brug ofte π i svaret hvis muligt (eksakt)

Læringsmål

• Kende de reelle tals delmængder (naturlige, hele, rationale, irrationale)
• Genkende irrationale tal som tal der ikke kan skrives som brøk
• Vide at √2, π og e er klassiske irrationale tal
• Forstå at decimaltal med uendelige cifre uden mønster er irrationale
• Bruge approksimationer for irrationale tal i beregninger
• Skelne mellem eksakte og approksimerede svar

Reelle tal-jagt 🔢

Klassificér: Er disse tal naturlige, hele, rationale eller irrationale? 7, -3, 1/2, π, 0,5, √4, √7, 0,333...

Lommeregner-eksperiment: Beregn √2, √3, √5 på lommeregner. Skriv decimalerne. Stopper de? Mønster?

Pi-decimaler: Hvor mange decimaler af π kan du huske? Verdensrekorden er 70.000+!