Simulering med digitale værktøjer

Matematik · 7.-9. klasse · Statistik og sandsynlighed

Simulering med digitale værktøjer 💻

Simulering = at bruge COMPUTER til at lave eksperimentet tusindvis af gange.

Hvorfor simulere?

• Hurtigt: 10.000 forsøg på sekunder
• Let: ingen fysiske mønter/terninger
• Pålideligt: ingen manuelle fejl
• Store tals lov: konvergens mod teoretisk
• Komplekse eksperimenter der er svære at beregne

I Excel / Google Sheets

Terning-simulering:

```

=RANDBETWEEN(1;6)

```

Træk formel ned for mange forsøg (fx 1000 rækker).

Mønt-simulering:

```

=RANDBETWEEN(0;1)

```

(0 = plat, 1 = krone)

Eller med tekst:

```

=HVIS(RANDBETWEEN(0;1)=1;"krone";"plat")

```

Tælle udfald

Tælle 6'ere:

```

=TÆLHVIS(A1:A1000;6)

```

Empirisk sandsynlighed:

```

=TÆLHVIS(A1:A1000;6)/TÆL(A1:A1000)

```

Eksempel: terning-simulering

Trin 1: I celle A1 skriv =RANDBETWEEN(1;6)

Trin 2: Træk ned til A1000 (1000 kast)

Trin 3: I B1-B6 tæl hver side:

• B1: =TÆLHVIS(A1:A1000;1) (antal 1'ere)
• B2: =TÆLHVIS(A1:A1000;2)
• ... osv

Trin 4: Se fordelingen. Er det ca. 167 af hver? (1000/6 = 167)

Empirisk vs. teoretisk

Sammenlign:

• Teoretisk: 1/6 ≈ 16,67 %
• Empirisk: dit resultat

De er tæt på hinanden pga. de store tals lov.

Monte Carlo-metode

Simulation = \"Monte Carlo-metode\" efter kasino-byen.

Anvendelse:

• Finansiel risiko
• Vejrudsigter
• Klimamodeller
• Fysiske simulationer
• Computerspil

GeoGebra-simulation

GeoGebra har indbyggede kommandoer:

• Terning() — tilfældig 1-6
• Prøve(liste, n) — træk n gange fra liste

Simulere komplekse eksperimenter

Eksempel: Yatzy

Simulér 5 terningekast 1000 gange. Tæl hvor mange Yatzy (5 ens).

Eksempel: lotto

Simulér 6 ud af 36 tal, 10.000 gange. Hvor tæt på teoretisk P(jackpot)?

Eksempel: gamblers fallacy

Simulér mønt 100 gange. TJEK: hvis du får 5 krone i træk, er næste kast 50/50? JA — de store tals lov virker over TID, men hver kast er uafhængigt.

Visualisering

Brug diagram:

• Søjlediagram over hvor mange af hver udfald
• Linjediagram over empirisk % over tid

FP9-anvendelse

Simulering er NU en standardopgave ved FP9:

• Simulere et eksperiment
• Sammenligne med teoretisk
• Fortolke resultater
• Bruge Excel eller GeoGebra

Pas på

• Hver gang du trykker F9 (omberegne) ændres tal!
• Gem resultater inden du analyserer
• Pseudo-tilfældig: computer-tilfældig er ikke "rigtig" tilfældig, men tæt nok

Moderne anvendelser

• Vejrmodeller: IPCC klimasimuleringer
• Pandemi-modeller: SIR-model for sygdomsspredning
• Trafik: optimering af signaler
• Sport: forudsige kampresultater
• Computerspil: tilfældighed i gameplay

Læringsmål

• Bruge RANDBETWEEN i Excel/Sheets til simulering
• Simulere terninger, mønter og andre eksperimenter
• Tælle udfald med TÆLHVIS-formlen
• Beregne empirisk sandsynlighed fra simulering
• Sammenligne empiriske og teoretiske resultater
• Forberede sig til FP9 hvor simulering er standard

Simulations-projekt 💻

Terning-simulation: Lav 1000 terningekast i Excel. Tæl hver side. Hvor tæt på 167 af hver?

Mønt-simulation: Lav 10.000 møntkast. Beregn empirisk P(krone). Hvor tæt på 0,5?

2 terninger: Simulér 1000 gange sum af 2 terninger. Hvilken sum er mest hyppig? (Tip: 7)