Statistisk vs. teoretisk sandsynlighed

Matematik · 7.-9. klasse · Statistik og sandsynlighed

Statistisk vs. teoretisk sandsynlighed 🎲

Der findes TO måder at bestemme sandsynlighed:

Teoretisk sandsynlighed

Definition: Beregnet ud fra principper OM eksperimentet.

Eksempler:

• Mønt: P(krone) = 1/2 = 0,5
• Terning: P(6) = 1/6
• Kortspil: P(spar) = 13/52 = 1/4

Formel: gunstige udfald / mulige udfald

Statistisk (eksperimentel) sandsynlighed

Definition: Målt ved at LAVE forsøget.

Eksempel: Du kaster mønt 100 gange. Får krone 53 gange.

Statistisk P(krone) = 53/100 = 0,53

Formel: antal gunstige / antal forsøg

Sammenligning

```

Aspekt | Teoretisk | Statistisk

Beregnet | Ja | Nej

Målt | Nej | Ja

Eksakt | Ja | Approksimation

Kræver forsøg | Nej | Ja

```

De konvergerer

De store tals lov: Når antal forsøg → ∞, konvergerer statistisk sandsynlighed mod teoretisk.

Eksempel mønt:

• 10 kast: 7 krone → 70 % (afviger meget)
• 100 kast: 53 krone → 53 % (tættere)
• 1000 kast: 502 krone → 50,2 % (meget tæt)
• 10.000 kast: 5001 krone → 50,01 % (næsten præcis)

Hvornår bruge hvad?

Teoretisk: når eksperimentet har klare principper

• Mønter
• Terninger
• Kortspil med perfekt blanding

Statistisk: når teori er svær eller umulig

• Vejr-sandsynlighed
• Ulykke-risiko
• Sygdom-spredning
• Vindchance i sport

Eksempel: kræft-risiko

Du kan IKKE BEREGNE teoretisk sandsynlighed for at få kræft. I stedet bruger læger STATISTIK fra millioner af patienter:

• 1 ud af 2 mænd får kræft i løbet af livet (USA)
• 1 ud af 3 kvinder

Dette er STATISTISK sandsynlighed.

Eksperiment-design

For at beregne statistisk sandsynlighed korrekt:

1. Lav MANGE forsøg (1000+)

2. Gør forsøgene UAFHÆNGIGE

3. Mål PRÆCIST

4. Sammenlign med teoretisk

Når de ikke stemmer

Hvis statistisk afviger MEGET fra teoretisk:

• For få forsøg (tilfældighed)
• Eksperimentet er IKKE ideelt (snyde-mønt?)
• Antagelser er forkerte

Lotto-eksempel

P(vinde jackpot) teoretisk: 1/15.380.937 (meget lille!)

Statistisk: Efter mange års observering — ja, ca. 1 ud af 15 millioner vinder.

Statistik BEKRÆFTER teori.

FP9-relevans

Du kan blive spurgt om:

• Lave eksperimenter og beregne statistisk sandsynlighed
• Sammenligne med teoretisk
• Diskutere hvorfor de måske afviger

Læringsmål

• Skelne teoretisk og statistisk sandsynlighed
• Beregne teoretisk sandsynlighed for klassiske eksperimenter
• Beregne statistisk sandsynlighed fra forsøg
• Forstå konvergens via de store tals lov
• Vide hvornår teoretisk vs. statistisk er bedst
• Lave egne eksperimenter til at beregne statistisk

Eksperiment-projekt 🎲

Mønt-test: Kast en mønt 100 gange. Beregn statistisk P(krone). Hvor tæt på 50 %?

Terning-test: Kast en terning 60 gange. Tæl hver side. Er alle ca. 10? (teoretisk = 10 af hver)

GeoGebra-simulation: Brug GeoGebra eller Excel til at simulere 10.000 mønt-kast. Hvor tæt på 50 % er resultatet?