Konfidensintervaller

Matematik A (HHX) · HHX · A-niveau · Statistik og økonomisk analyse

🧮 Konfidensintervaller

Konfidensinterval (KI) = et interval om gennemsnit hvor populationsgennemsnittet med stor sandsynlighed (typisk 95%) ligger.

Formel for 95% KI om gennemsnit: x̄ ± t × (s/√n). x̄ = stikprøvegennemsnit. s = stikprøvens standardafvigelse. n = stikprøvestørrelse. t = kritisk værdi fra Student's t-fordeling (eller z = 1,96 hvis n stor).

Eksempel: 100 elever målt højde. x̄ = 1,75 m. s = 0,07 m. 95% KI = 1,75 ± 1,96 × (0,07/√100) = 1,75 ± 0,014. Altså [1,736, 1,764]. Vi er 95% sikre på at populationsgennemsnit ligger her.

Tolkning: hvis vi gentog stikprøven 100 gange, ville 95 af KI'erne indeholde det sande gennemsnit.

Faktorer der påvirker bredde:

1.

Stikprøvestørrelse n: større n → smallere KI (mere præcis).

2.

Variabilitet (s): mere s → bredere KI.

3.

Konfidens-niveau: 99% KI er bredere end 95% (mere sikker, mindre præcis).

KI for proportion: p̂ ± z × √(p̂(1-p̂)/n). Bruges i meningsmålinger. Eksempel: 600 ud af 1000 vælger SD. 95% KI for SD-andel = 0,6 ± 1,96 × √(0,6×0,4/1000) = 0,6 ± 0,03. Altså [57%, 63%].

CAS: WordMat har konfidensinterval-funktion. Excel =NORMINV(p, mean, sd).

Anvendelse

meningsmålinger, kvalitetskontrol, kliniske forsøg.

Klassisk fejl: tolke KI som "95% sandsynlighed for at populationsgennemsnit ligger i intervallet". STATISTISK INKORREKT — populationsgennemsnit er fast (ukendt), KI er det der varierer.

Læringsmål

• Beregne et konfidensinterval for en gennemsnitsværdi
• Tolke konfidensintervallets betydning for en stikprøve
• Vurdere usikkerhed i statistiske estimater

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn et 95%-konfidensinterval for middelværdien baseret på en stikprøve med n = 36, gennemsnit 120 og standardafvigelse 18
• Forklar, hvad det betyder, at et 95%-konfidensinterval er [45,2; 54,8], og afklar den klassiske misforståelse om, hvad intervallet egentlig siger
• En virksomhed måler kundetilfredshed 7,4 af 10 med et konfidensinterval på plustegn/minustegn 0,6 — hvad kan vi konkludere om populationens sande gennemsnit?

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.