Tangentligning

Matematik B (HF) · HF · B-niveau · Differentialregning

🧮 Tangentligning

Tangenten til en kurve i punkt P(x₀, f(x₀)) er den rette linje der "kysser" kurven i P.

Tangentligningen: y - f(x₀) = f'(x₀)·(x - x₀), eller: y = f'(x₀)·(x - x₀) + f(x₀). Hældningen = f'(x₀) (differentialkvotienten i x₀).

Procedure:

1. Beregn f(x₀) (y-koordinaten).

2. Beregn f'(x) (differentialkvotienten).

3. Beregn f'(x₀) (hældningen i punktet).

4. Indsæt i tangentligningen.

Eksempel: f(x) = x² + 3x. Find tangenten i x₀ = 2. f(2) = 4 + 6 = 10. f'(x) = 2x + 3. f'(2) = 7. Tangentligning: y - 10 = 7(x - 2), eller y = 7x - 4.

Geometrisk fortolkning: tangenten approksimerer funktionen lokalt. Newton's metode (rod-finding) bruger tangenter iterativt.

Linearisering: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) for x tæt på x₀. Brugbar i differentialer dy = f'(x)·dx.

Anvendelse i økonomi: marginal-begrebet — tangenten til omkostningsfunktionen viser den marginale omkostning.

Sekant vs. tangent: sekant er linje gennem to punkter. Når punkterne flyttes tættere → tangent.

Numerisk tangent: f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h for små h (typisk h = 0,001).

CAS-eksempel: i WordMat: tangent(f, x₀).

Skæringspunkt med x-aksen: ved y = 0 → x = x₀ - f(x₀)/f'(x₀) (Newton-Raphsons formel — bruges til numerisk rodfinding).

Læringsmål

• Bestemme tangentens ligning til en graf i et givet punkt
• Anvende differentialkvotienten til at finde hældningen
• Tolke tangentens betydning i en praktisk sammenhæng

Sådan kan du arbejde med emnet

• Find tangentligningen til f(x) = x^2 i punktet x = 2 og tegn både funktionen og tangenten i samme koordinatsystem
• Forklar, hvad en tangent er geometrisk set, og hvad differentialkvotienten har med tangentens hældning at gøre
• Opstil tangentligningen til f(x) = 2x^2 + x i punktet (1, 3) og kontroller dit svar ved at indsætte x = 1

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.