Sandsynlighedsregning

Matematik B (HHX) · HHX · B-niveau · Statistik

🧮 Sandsynlighedsregning

Sandsynlighed (p) = mål for, hvor sandsynlig en hændelse er. Værdier mellem 0 (umuligt) og 1 (sikkert), eller udtrykt som 0-100 %.

Klassisk sandsynlighed: p = (gunstige udfald) / (mulige udfald).

Eksempler

• Mønt-kast: p(plat) = 1/2 = 50 %.
• Terning-kast: p(6'er) = 1/6 ≈ 16,7 %.
• Spillekort: p(hjerter konge) = 1/52 ≈ 1,9 %.

Grundregler:

1.

Komplement: p(IKKE A) = 1 - p(A).

2.

Disjunkt-tilfælde (A eller B udelukker hinanden): p(A eller B) = p(A) + p(B).

3.

Generelt: p(A eller B) = p(A) + p(B) - p(A og B).

4.

Uafhængige hændelser: p(A og B) = p(A) · p(B).

Eksempler

• p(2 plat ved 2 møntkast) = 0,5 · 0,5 = 0,25 = 25 %.
• p(rød ELLER ass i kortspil) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 = 53,8 %.

Betinget sandsynlighed: p(A | B) = p(A og B) / p(B) — sandsynlighed for A GIVET at B er sket.

Bayes' formel: p(A|B) = p(B|A) · p(A) / p(B). Anvendt i medicinsk diagnose, AI, retssager.

Sandsynlighedsfordelinger:

1. Binomialfordelingen: n forsøg, hver med succes-sandsynlighed p. p(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k).

Eksempel — 10 mønt-kast: p(7 plat) = C(10,7) · 0,5^7 · 0,5^3 = 120 · 0,0078 · 0,125 = 0,117 = 11,7 %.

2. Normalfordelingen ("klokkekurven"): kontinuert. Defineret af middelværdi μ + standardafvigelse σ. 68 % af værdier ligger inden for 1σ, 95 % inden for 2σ, 99,7 % inden for 3σ.

3. Poissonfordelingen: sjældne hændelser pr. tidsenhed (mails/time, kunder/dag, fejl/produkt).

Centrale begreber

• Mønt-kast: p(plat) = 1/2 = 50 %.
• Terning-kast: p(6'er) = 1/6 ≈ 16,7 %.
• Spillekort: p(hjerter konge) = 1/52 ≈ 1,9 %.
• p(2 plat ved 2 møntkast) = 0,5 · 0,5 = 0,25 = 25 %.
• p(rød ELLER ass i kortspil) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 = 53,8 %.
• Forsikring: aktuarer beregner premier ud fra sandsynligheder for skade.
• Investering: forventet afkast = Σ (sandsynlighed · afkast).
• Marketing: A/B-test bruger sandsynligheder for at vurdere kampagne-effekt.

Læringsmål

• Beregne sandsynligheder med additions- og multiplikationsregler
• Anvende binomialfordelingen til at beregne succeandele og kvalitetskontrol
• Fortolke Bayes-sætningen i beslutningstagning under usikkerhed
• Koble sandsynlighedsregning til risikoanalyse og forsikringsmatematik

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn sandsynligheden for at få mindst én sekser ved at kaste en terning tre gange
• Forklar forskellen på uafhængige og afhængige hændelser og giv et eksempel på hver fra erhvervslivet, fx kvalitetskontrol
• En virksomhed har 5% defekte produkter — beregn sandsynligheden for, at mindst ét produkt i en stikprøve på 10 er defekt

Faglige pointer

Eksempel — investering: