Bestemme afstande med beregning

Matematik · 7.-9. klasse · Geometri og måling

Bestemme afstande — uden at gå derhen 📐

Nogle afstande kan vi IKKE MÅLE direkte. Men vi kan BEREGNE dem med matematik.

3 metoder

1. Pythagoras — afstand mellem 2 punkter

2. Trigonometri — højder og skrå afstande via vinkler

3. Skala — afstand på kort × målestok

Afstand mellem 2 punkter

Formel:

```

afstand = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

```

Det er bare Pythagoras!

Eksempel

Punkt A(1, 2) og B(4, 6). Afstand?

afstand = √((4-1)² + (6-2)²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

Afstand via skala

På et kort med målestok 1:100.000 er afstanden 4 cm. Virkelig afstand?

4 cm × 100.000 = 400.000 cm = 4 km

Trigonometri: finde højden af et træ

Du står 20 m fra et træ. Synsvinkel til toppen er 35°.

tan(35°) = højde / 20

højde = 20 × tan(35°)

højde ≈ 20 × 0,700

højde ≈ 14 m

GPS og afstand

GPS beregner afstand med trigonometri og Jordens geometri:

• Satellitter sender signaler
• Forskel i tid = afstand
• Trilateration = find position

Matematik styrer din mobil!

Afstand i 3D

I 3D er formlen:

```

afstand = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

```

Praktiske anvendelser

Landmåling: opmåle grunde

Astronomi: afstande mellem stjerner

Navigation: rejseplanlægning

Spil: distance check i videospil

Sport: afstand til mål, GPS-løbere

Store afstande

For MEGET store afstande (som mellem stjerner) bruger vi:

Lysår: afstand lys rejser på 1 år ≈ 9,46 × 10¹² km

Astronomisk enhed (AE): afstand Jord-Sol ≈ 150 millioner km

Sjov regnestykke

Hvor langt er 1 lysår?

Lysets hastighed = 300.000 km/s

Sekunder i 1 år = 31.557.600

Lysår = 300.000 × 31.557.600 ≈ 9,46 × 10¹² km

9,46 TRILLIONER km! (Det nærmeste stjerne Alpha Centauri er 4,3 lysår væk.)

Læringsmål

• Bruge Pythagoras til at beregne afstand mellem 2 punkter
• Bruge trigonometri til at finde højder og skrå afstande
• Anvende skala/målestok på kort
• Forstå hvordan GPS bruger trigonometri
• Beregne afstand i 3D-rum
• Bruge astronomiske enheder (lysår, AE) for store afstande

Afstands-beregninger 📐

To punkter: Find afstanden mellem A(2, 3) og B(7, 15). Brug formel.

Højde af træ: Du står 50 m fra et træ. Ser toppen med 25° vinkel. Hvor højt?

Kort-skala: På et kort i 1:50.000 måler du 3,5 cm. Hvad er den virkelige afstand?