Cosinus- og sinusrelationen (intro)

Matematik · 10. klasse · Geometri og måling

Sinus- og cosinusrelationen 📐

Pythagoras og basis-trigonometri virker KUN for retvinklede trekanter. Sinus- og cosinusrelationen virker for ALLE trekanter — vigtige værktøjer på STX.

Sinusrelationen

For enhver trekant ABC:

```

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

```

hvor:

• A, B, C er vinkler
• a, b, c er de MODSTÅENDE sider

Hvornår bruge sinusrelationen?

Når du kender:

• 2 vinkler + 1 side (finder anden side)
• 2 sider + én af deres modstående vinkler (finder anden vinkel)

Eksempel 1: 2 vinkler + 1 side

Trekant med A = 45°, B = 60°, a = 10.

Find b.

C = 180° - 45° - 60° = 75°

b/sin(60°) = 10/sin(45°)

b = 10 × sin(60°)/sin(45°)

b = 10 × 0,866/0,707 ≈ 12,2

Cosinusrelationen

For enhver trekant ABC:

```

c² = a² + b² - 2ab × cos(C)

```

(Og tilsvarende for a², b²)

Hvornår bruge cosinusrelationen?

Når du kender:

• 3 sider (finder vinkel)
• 2 sider + mellemvinklen (finder 3. side)

Eksempel 2: 2 sider + mellemvinkel

Trekant med a = 5, b = 7, C = 60°.

Find c.

c² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(60°)

c² = 25 + 49 - 70 × 0,5

c² = 74 - 35

c² = 39

c ≈ 6,24

Eksempel 3: 3 sider

Trekant med a = 6, b = 8, c = 10. Find A.

6² = 8² + 10² - 2(8)(10)cos(A)

36 = 64 + 100 - 160 cos(A)

160 cos(A) = 128

cos(A) = 0,8

A = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°

Pythagoras er specialtilfælde

Hvis C = 90° i cosinusrelationen:

• cos(90°) = 0
• c² = a² + b² - 0
• c² = a² + b² (PYTHAGORAS!)

Pythagoras er cosinusrelationen med en ret vinkel!

Valg af metode

```

Givet | Brug

2 vinkler + 1 side | Sinusrelationen

3 sider | Cosinusrelationen

2 sider + vinkel | Afhænger (se nedenfor)

```

2 sider + vinkel:

• Mellemvinkel (mellem 2 sider): cosinusrelation
• Modstående vinkel: sinusrelation (pas på!)

Areal af trekant

Ud over (1/2) × grundlinje × højde:

Givet 2 sider + mellemvinkel:

```

Areal = (1/2) × a × b × sin(C)

```

Eksempel: a = 6, b = 8, C = 30°

Areal = (1/2) × 6 × 8 × sin(30°) = 24 × 0,5 = 12

Hverdagsanvendelse

Landmåling: bestemme afstande hvor man ikke kan gå

Navigation: triangulering med fyrtårne

Astronomi: afstande mellem himmellegemer

Konstruktion: beregne vinkler i takkonstruktioner

Forbered til STX

Både sinus- og cosinusrelationen er STANDARD på STX matematik B. Få dem på plads nu!

Læringsmål

• Bruge sinusrelationen a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
• Bruge cosinusrelationen c² = a² + b² - 2ab×cos(C)
• Vælge rigtig relation baseret på givet information
• Forstå Pythagoras som specialtilfælde af cosinusrelationen
• Beregne areal med (1/2)ab×sin(C)
• Anvende i landmåling og navigation

Relations-træning 📐

Sinusrelationen: Trekant med A = 50°, B = 70°, a = 8. Find b og c.

Cosinusrelationen: Trekant med a = 5, b = 7, c = 9. Find alle 3 vinkler.

Areal: Find arealet af trekant med sider 10, 12 og mellemvinkel 45°.