Trigonometri udvidet (også vinkler over 90°)

Matematik · 10. klasse · Geometri og måling

Trigonometri udvidet 📐

Ud over 0°-90° findes trigonometriske værdier for ALLE vinkler. Enhedscirklen er nøglen — forberedelse til STX.

Enhedscirklen

Cirkel med radius 1, centrum i origo.

Hver vinkel v har et punkt på cirklen med koordinater:

```

(cos v, sin v)

```

Kvadranter

Enhedscirklen er opdelt i 4 kvadranter:

Kvadrant I (0°-90°): cos > 0, sin > 0

Kvadrant II (90°-180°): cos < 0, sin > 0

Kvadrant III (180°-270°): cos < 0, sin < 0

Kvadrant IV (270°-360°): cos > 0, sin < 0

Specielle vinkler

```

Vinkel | sin | cos | tan

0° | 0 | 1 | 0

30° | 0,5 | 0,866 | 0,577

45° | 0,707 | 0,707 | 1

60° | 0,866 | 0,5 | 1,732

90° | 1 | 0 | udef

180° | 0 | -1 | 0

270° | -1 | 0 | udef

360° | 0 | 1 | 0

```

Symmetrier

Supplementær vinkel (180° - v):

• sin(180° - v) = sin(v)
• cos(180° - v) = -cos(v)

Eksempel: sin(150°) = sin(30°) = 0,5

Komplementær vinkel (90° - v):

• sin(90° - v) = cos(v)
• cos(90° - v) = sin(v)

Eksempel: sin(60°) = cos(30°) = 0,866

Negativ vinkel (-v):

• sin(-v) = -sin(v)
• cos(-v) = cos(v)

Periodicitet

360°-periode:

• sin(v + 360°) = sin(v)
• cos(v + 360°) = cos(v)

Eksempel: sin(390°) = sin(30°) = 0,5

Grafer

sin(v) og cos(v) grafer er SINUSKURVER:

• Periode: 360°
• Amplitude: 1
• Oscillerer mellem -1 og 1

Anvendelse

Bølger: lyd, lys, radio

• Alle følger sinuskurver

Rotation: karusel, ur-visere

• Position beskrives med cos og sin

Kinematik: projektilbevægelse

Radianer (STX)

På STX bruger du RADIANER i stedet for grader:

• 180° = π radianer
• 360° = 2π radianer

Men på 10. klasse: hold dig til grader.

Lommeregner

Tjek at lommeregner er i DEG (grader), IKKE RAD (radianer).

Test: sin(30°) skal give 0,5 hvis i DEG.

Forbered til STX

Enhedscirklen er FUNDAMENT på STX:

• Matematik B og A
• Fysik
• Senere calculus

Læringsmål

• Forstå enhedscirklen og sin/cos som koordinater
• Beregne sin/cos for vinkler over 90°
• Bruge kvadranter til at bestemme tegn
• Anvende symmetri-relationer
• Forstå sinus-kurvens periodicitet
• Forberede sig til STX (radianer, avanceret trigonometri)

Trigonometri-udvidelse 📐

Beregne: sin(120°), cos(150°), sin(210°), cos(330°). Brug symmetri.

Identificer kvadrant: For vinkel 240°, hvilken kvadrant? Tegn sin og cos-tegn.

Periodicitet: sin(390°) = sin(?). cos(720°) = cos(?).