Vinkelsum trekant=180°

Matematik · 3.-6. klasse · Geometri og måling

Trekantens vinkelsum — altid 180° 🔺

Dette er en af matematikkens MEST FAMOUS regler:

```

VINKELSUM I EN TREKANT = 180°

```

Uanset om trekanten er stor, lille, lige-sidet, skæv — vinklerne summer ALTID til præcis 180°.

Test det selv

Tag enhver trekant. Mål de 3 vinkler. Læg dem sammen.

Eksempel 1:

• 60° + 70° + 50° = 180° ✓

Eksempel 2:

• 90° + 45° + 45° = 180° ✓ (ret-vinklet trekant)

Eksempel 3:

• 30° + 60° + 90° = 180° ✓

Eksempel 4:

• 100° + 50° + 30° = 180° ✓ (stumpvinklet trekant)

Hvorfor er det altid 180°?

Forestil dig at du klipper en trekant ud af papir. Klip de 3 hjørner af. Læg dem ved siden af hinanden:

```

╱╲ ╱ ╲

╱ ╲ ╱ ╲

╱────╲ ────── → 3 hjørner sammen = LIGE LINJE = 180°

```

De 3 vinkler tilsammen danner ALTID en lige linje. Lige linje = 180°.

Beregne ukendt vinkel

Hvis du kender 2 vinkler, kan du beregne den 3.:

```

3. vinkel = 180° − (sum af 2 første)

```

Eksempel: En trekant har vinkler 80° og 50°. Hvad er den 3.?

→ 3. vinkel = 180° − 80° − 50° = 50°

Eksempel 2: En trekant har vinkler 90° (ret) og 30°. Hvad er den 3.?

→ 3. vinkel = 180° − 90° − 30° = 60°

Specielle trekanter

Lige-sidet trekant:

• Alle 3 sider lige lange
• Alle 3 vinkler lige store
• 60° + 60° + 60° = 180°
• Hver vinkel = 60°

Lige-benet trekant:

• 2 sider lige lange
• 2 vinkler ens (ved den korte side)
• Eksempel: 50°, 50°, 80°

Skæv trekant:

• Alle 3 sider og vinkler forskellige
• Eksempel: 30°, 70°, 80°

Retvinklet trekant:

• ÉN ret vinkel (90°)
• De andre 2 summer til 90°
• Eksempel: 90°, 60°, 30°

Tjek om en trekant er mulig

REGEL: Hvis 3 vinkler summer til 180°, er trekanten mulig.

Eksempel: Kan vi lave en trekant med 100°, 50°, 40°?

→ Sum = 190°

→ NEJ! Det er IKKE muligt. Vinklerne summer til mere end 180°.

Eksempel 2: 80°, 50°, 50°?

→ Sum = 180° ✓

→ JA, det er muligt.

Vinkelsum i andre polygoner

Formlen for vinkelsum:

```

Vinkelsum = (n − 2) × 180°

```

hvor n = antal sider.

```

Figur | Sider | Vinkelsum

Trekant | 3 | 180°

Firkant | 4 | 360°

Femkant | 5 | 540°

Sekskant | 6 | 720°

Ottekant | 8 | 1080°

```

Hvorfor er det vigtigt?

• Praktisk geometri: ved at kende 2 vinkler, kender du den 3.
• Konstruktion: sikre at trekanten er mulig
• Pythagoras og andre sætninger bygger på det
• Trigonometri (senere) bruger trekantens vinkler

Beviset (kort)

Matematikere kan BEVISE at vinkelsum altid er 180° ved hjælp af parallelle linjer:

```

A

╱╲

╱ ╲

╱ ╲

B ╱──────╲ C

```

Træk en linje gennem A parallel med BC. Vinkler langs linjen summer til 180°. Disse svarer til trekantens vinkler.

Pas på

• Sum = præcis 180° (ikke ca. 180°)
• Tæl alle 3 vinkler — ikke kun 2
• Negativt eller 0: vinkler i en trekant skal være > 0° og < 180°

Læringsmål

• Vide og bruge regelen: vinkelsum i trekant = 180°
• Beregne ukendt vinkel når 2 er givet
• Tjekke om en trekant er mulig (skal summe til 180°)
• Skelne lige-sidet, lige-benet, skæv og retvinklet trekant
• Forstå hvorfor reglen gælder (geometrisk bevis)
• Bruge formlen (n−2) × 180° til andre polygoner

Trekant-eksperiment 🔺

Mål-bevis: Tegn 3 forskellige trekanter. Mål alle vinkler. Læg sammen. Får du 180° hver gang?

Klippe-bevis: Tegn en trekant. Klip ud. Klip de 3 hjørner af. Læg dem ved siden af hinanden — de danner en LIGE LINJE!

Beregne-spil: Lav 5 trekanter med 2 vinkler givet. Beregn den 3. Tjek at de summer til 180°.