Henfaldslov N(t) = N₀·e^(-λt)

Fysik A · STX · A-niveau · Moderne fysik

⚛️ Henfaldslov N(t) = N₀·e^(-λt)

Radioaktivt henfald = ustabil atomkerne sender stråling (α, β, γ) ud + omdannes til en anden kerne.

Henfaldsloven: N(t) = N₀·e^(-λ·t), hvor N(t) = antal radioaktive kerner ved tid t, N₀ = initial antal, λ = henfaldskonstant (s⁻¹), t = tid.

Princip: hvert henfald er TILFÆLDIGT — vi kan ikke forudsige NÅR ÉT atom henfalder, kun den GENNEMSNITLIGE rate. På tilstrækkelig stort N giver det eksponentiel reduktion.

Differential-formulering: dN/dt = -λ·N. Henfaldshastigheden er proportional med antal kerner.

Aktivitet (A): antal henfald per tid: A(t) = λ·N(t) = A₀·e^(-λt). Måles i becquerel (Bq = 1 henfald/s) eller curie (Ci = 3,7·10¹⁰ Bq, gammel).

Halveringstid (T½): tid til halvdelen er henfaldet. T½ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Karakteriserer hvor "ustabilt" stoffet er.

Karakteristiske halveringstider:

• (a) Polonium-214: 164 µs (mikrosekunder).
• (b) Iod-131: 8 dage (medicin, kræft-behandling).
• (c) Cesium-137: 30 år (Tjernobyl-affald).
• (d) Strontium-90: 29 år.
• (e) Carbon-14: 5.730 år (datering).
• (f) Plutonium-239: 24.100 år (atomvåben + reaktor-affald).
• (g) Uran-235: 704 mio. år (atomenergi).
• (h) Uran-238: 4,5 mia. år (Jordens dannelse).

Eksempel — beregning: 100 g radon-222 (T½ = 3,82 dage). Efter 1 dag: N = 100·e^(-ln2·1/3,82) = 100·e^(-0,182) = 100·0,834 = 83,4 g. Efter 7,64 dage (= 2 halveringstider): 25 g. Efter 11,46 dage (= 3 halveringstider): 12,5 g.

Stråling-typer: (1) α-henfald — kerne udsender helium-kerne (²He). Eks: ²³⁸U → ²³⁴Th + α (massetal falder med 4, atomnummer med 2). (2) β-henfald — neutron omdannes til proton + elektron, fx ¹⁴C → ¹⁴N + β⁻. (3) γ-henfald — kernen udsender en højenergetisk foton uden at ændre Z eller A, ofte som efterfølger til et α- eller β-henfald.

Læringsmål

• Anvende foton-energi E = hf
• Bohrs frekvensbetingelse ΔE = hf
• Beregne radioaktivt henfald N(t) = N₀·e^(−λt)
• Beregne halveringstid og aktivitet
• Anvende E = mc² og masse-defekt
• Skelne kerne-fission og kerne-fusion

Sådan kan du arbejde med emnet

• Brug henfaldsloven til at beregne, hvor mange radioaktive kerner der er tilbage efter en given tid
• Forklar, hvad symbolerne N₀ og λ repræsenterer i henfaldsloven
• Diskutér, hvordan henfaldsloven kan bruges til datering af gamle fund

Eksperiment-forslag

• Brug en datalogger eller simulator til at "måle" aktiviteten af en kilde over tid, plot ln(A) vs. t, og bestem λ og T½ ud fra hældningen.
• Beregn, hvor meget af en given mængde radioaktivt stof der er tilbage efter 1, 2, 5 og 10 halveringstider, og tegn grafen N(t) i CAS.
• Diskutér praktiske konsekvenser af forskellige halveringstider: hvorfor bruges I-131 (8 dage) i medicin, mens Pu-239 (24.100 år) er et langsigtet affaldsproblem?

Brobygning

Henfaldsloven bruger λ — men i praksis er det ofte lettere at tænke i HALVERINGSTIDER. Næste emne er 'Halveringstid T½ = ln(2)/λ', der går i dybden med dette begreb og dets anvendelser.