Areal under graf

Matematik A (HHX) · HHX · A-niveau · Integralregning

🧮 Areal under graf

Areal under graf = bestemt integral. ∫_a^b f(x) dx = arealet mellem kurven f(x) og x-aksen fra x=a til x=b.

Beregning: F(b) - F(a), hvor F er en stamfunktion til f.

Eksempel: f(x) = x². Areal fra x=0 til x=2: ∫_0^2 x² dx = [x³/3]_0^2 = 8/3 ≈ 2,67.

Geometrisk fortolkning: hvis f(x) > 0, er det positive areal. Hvis f(x) < 0, er integralet negativt (areal under x-aksen).

Areal mellem to kurver: ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx, hvor f ≥ g.

Anvendelse i økonomi: Forbrugeroverskud (CS): forskellen mellem hvad forbrugere er VILLIGE TIL at betale og hvad de FAKTISK betaler. CS = ∫_0^q (p_D(q) - p) dq. Geometrisk: arealet UNDER efterspørgselskurven og OVER ligevægtsprisen.

Producentoverskud (PS): PS = ∫_0^q (p - p_S(q)) dq.

Total velfærd: TS = CS + PS.

Eksempel: efterspørgsel p_D = 100 - q. Udbud p_S = 20 + q. Ligevægt: q = 40, p = 60. CS = ∫_0^40 (40-q) dq = 800. PS = ∫_0^40 (40-q) dq = 800.

Anvendelse i fysik: arbejde W = ∫F dx (kraft × strækning).

Numerisk integration: når stamfunktionen ikke kan findes analytisk. Trapez-reglen, Simpson's regel. CAS bruger numeriske metoder.

CAS: WordMat int(f(x), x, a, b). GeoGebra Integral[f, a, b].

Skoleeksempel: bestem CO₂-udslip ved at integrere udslipsraten over tid. Areal under graf = total CO₂.

Læringsmål

• Beregne arealet mellem en graf og x-aksen ved hjælp af integralregning
• Bestemme arealet mellem to grafer
• Tolke arealet i en økonomisk eller praktisk sammenhæng

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn arealet begrænset af f(x) = x^2 og g(x) = 2x i det interval, hvor de skærer hinanden
• Estimér arealet under en aktiekursgraf (diskrete datapunkter) ved hjælp af trapezreglen og sammenlign med en lineær approksimation
• En økonomimodel siger, at overskudsproduktionen er arealet under MP-kurven fra x = 10 til x = 30 — opstil og beregn integralet

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.