Kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger

Matematik A (HHX) · HHX · A-niveau · Integralregning

🧮 Kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger

Kontinuerlig stokastisk variabel: X kan antage en hvilken som helst værdi i et interval. Modsat diskret (kun specifikke værdier). Sandsynlighedstæthedsfunktion (PDF) f(x): f(x) ≥ 0 og ∫_(-∞)^∞ f(x) dx = 1. P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. P(X = a) = 0 for kontinuerlige variabler! Kumulativ fordelingsfunktion (CDF) F(x) = P(X ≤ x) = ∫_(-∞)^x f(t) dt.

Vigtige fordelinger:

1. Uniform fordeling U(a,b): f(x) = 1/(b-a) for a ≤ x ≤ b, 0 ellers. Middelværdi μ = (a+b)/2, varians σ² = (b-a)²/12. Anvendelse: tilfældige tal (0,1), grovestimater.

2. Normalfordeling N(μ, σ²): klokkeformet. Beskrevet ovenfor. Mest brugt.

3. Eksponentialfordeling Exp(λ): f(x) = λ·e^(-λx) for x ≥ 0. Middelværdi 1/λ, varians 1/λ². Anvendelse: ventetid mellem hændelser, levetid af komponenter, betjenings-tid i kø. Memoryless property: P(X > s+t | X > s) = P(X > t).

4.

Logaritmisk normalfordeling: hvis ln X er N(μ,σ²). Bruges til aktiekurser, indkomst-fordelinger (skæv positiv halevægt).

5.

Beta-fordeling: bounded interval [0,1]. Bayesisk statistik.

6.

Gamma-fordeling: ventetid på k hændelser.

7.

Chi-kvadrat χ²: brugt i hypotesetestning.

8.

Studentens t-fordeling: lignende normalfordeling, men tungere haler. Bruges når populationsvarians er ukendt og stikprøvestørrelse lille.

Forventet værdi (middelværdi): E(X) = ∫x·f(x) dx.

Varians: V(X) = E[(X-μ)²] = E(X²) - μ².

Anvendelse i HHX: aktie-afkast (typisk antaget normal eller log-normal), ventetid (ek

Læringsmål

• Redegøre for kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger
• Beregne sandsynligheder ved hjælp af integralregning
• Anvende fordelinger til at modellere økonomiske variable

Sådan kan du arbejde med emnet

• Forklar, hvad det betyder, at en kontinuerlig stokastisk variabel har en tæthedsfunktion f(x), og at P(a < X < b) er lig integralet af f(x) fra a til b
• For en eksponentiel fordeling med parameter lambda = 0,5 — beregn sandsynligheden for, at ventetiden er under 3 minutter
• Brug GeoGebra til at visualisere en uniform fordeling på intervallet [2; 8] og beregn sandsynligheder for specifikke delintervaller

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.