Binomialfordeling

Matematik A · STX · A-niveau · Statistik og sandsynlighed

🧮 Binomialfordeling

Binomialfordelingen B(n, p) er en af statistikkens vigtigste fordelinger. Den beskriver antallet af succeser i et fast antal forsøg med samme sandsynlighed.

Definition

Lad X være antallet af succeser i n uafhængige forsøg, hver med succes-sandsynlighed p:

$$X \sim B(n, p)$$

Sandsynlighedsfunktionen

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Hvor:

• n = antal forsøg
• k = antal succeser (0, 1, 2, ..., n)
• p = succes-sandsynlighed pr. forsøg
• C(n,k) = binomialkoefficient

Centrale formler

#### Forventet værdi (middelværdi)

$$E(X) = np$$

#### Varians

$$\text{Var}(X) = np(1-p)$$

#### Standardafvigelse

$$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

Krav for binomialfordeling

For at en variabel skal være binomialfordelt:

1. Fast antal forsøg (n)

2. Uafhængige forsøg

3. To udfald pr. forsøg (succes/fiasko)

4. Konstant sandsynlighed p pr. forsøg

Konkrete eksempler

#### Eksempel 1: Møntkast

Kast en fair mønt 10 gange. Hvad er sandsynligheden for præcis 4 plat?

• n = 10, p = 0,5, k = 4
• P(X=4) = C(10,4) · (0,5)⁴ · (0,5)⁶
• = 210 · (1/16) · (1/64)
• = 210/1024 ≈ 0,205 = 20,5%

#### Eksempel 2: 100 møntkast

• E(X) = 100 · 0,5 = 50 plat (forventet)
• σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5
• Med 68-95-99,7-reglen: 95% sandsynlighed for 40-60 plat

#### Eksempel 3: Multiple choice-eksamen

• 20 spørgsmål, 4 svarmuligheder hver
• p = 0,25 (gæt tilfældigt)
• n = 20
• E(X) = 5 rigtige (ved bare at gætte)
• σ = √(20·0,25·0,75) ≈ 1,94

#### Eksempel 4: Lægemiddel-effektivitet

• Et medicin virker for 80% af patienter (p = 0,8)
• 50 patienter (n = 50)
• E(X) = 40 patienter helbredt
• σ = √(50·0,8·0,2) ≈ 2,83

Tilnærmelse til normalfordeling

De Moivre-Laplace-sætningen (1733):

Hvis np ≥ 5 og n(1-p) ≥ 5, så er:

$$X \approx N(np, np(1-p))$$

Det betyder: ved store n opfører binomialfordelingen sig som normalfordeling.

#### Praktisk:

• For store stikprøver, brug normalfordelings-formler i stedet for direkte binomial-beregning
• Lettere at regne på

Anvendelser i praksis

#### Kvalitetskontrol

• Acceptable defekt-rate for produkter
• Test antal defekte i prøve
• Eksempel: Hvis 2% defekt, hvor mange defekte ud af 100? E = 2, σ ≈ 1,4

#### Medicinske tests

• Sensitivitet (sand-positiv-rate)
• Specificitet (sand-negativ-rate)
• COVID-PCR test: 95% sensitivitet → P(rigtig positiv)

#### Markedsundersøgelse

• Telefonundersøgelse: hvor mange siger "ja"?
• 1000 ringede, hvor mange svarer JA?
• Binomial med n = 1000

#### Sportsstatistik

• Free throw-rate i basketball
• Hvis en spiller har 80% free throws, hvor mange ud af 20?
• E(X) = 16

#### Forsikring

• Antal skader pr. år
• Beregning af præmier
• Aktuarvidenskab bygger på binomial/Poisson

Hypoteseprøvning

Test om mønten er fair:

Du får 70 plat i 100 kast. Er det signifikant?

Nul-hypotese H₀: mønten er fair (p = 0,5)

Alternativ-hypotese H₁: mønten er IKKE fair (p ≠ 0,5)

Under H₀:

• E(X) = 50
• σ = 5
• Z = (70-50)/5 = 4

P-værdi for |Z| ≥ 4 er < 0,0001 → vi forkaster H₀ → mønten er IKKE fair.

CAS-værktøjer

TI-Nspire:

```

binomCdf(n, p, lower, upper) # P(lower ≤ X ≤ upper)

binomPdf(n, p, k) # P(X = k)

```

R:

```

dbinom(k, n, p) # tæthed P(X = k)

pbinom(q, n, p) # kumulativ P(X ≤ q)

rbinom(N, n, p) # tilfældige værdier

```

Excel:

```

=BINOMDIST(k, n, p, FALSE) # P(X = k)

=BINOMDIST(k, n, p, TRUE) # P(X ≤ k)

```

Bernoulli-fordelingen

Et specialtilfælde af binomial: B(1, p).

• Ét forsøg
• To udfald (succes/fiasko)
• Eksempel: ét møntkast

Binomial = sum af n Bernoulli-forsøg.

Almindelige fælder

• ❌ Bruge binomial når forsøg ikke er uafhængige
• ❌ Bytte n og k i formlen
• ❌ Glemme C(n,k)
• ❌ Bruge p > 1 (skal være 0 ≤ p ≤ 1)
• ❌ Bruge når antallet af forsøg ikke er fast (brug Poisson i stedet)

Vidste du at...

📊 Binomialfordelingen er navngivet efter binomial-koefficienten (n vælg k) — som kommer fra Pascals trekant og binomial-udvidelsen (a+b)ⁿ.

🎰 Casino-spil bruger binomialfordelingen til at sikre, at huset altid vinder over tid — selv en lille kant (p > 0,5 til huset) garanterer profit.

🩺 COVID-testning brugte binomialfordelingen massivt — beregne forventede antal positive i populationen ud fra prøvedata.

Læringsmål

• Genkende situationer der opfylder kravene for binomialfordeling B(n,p)
• Beregne P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ med formel og CAS
• Beregne og fortolke E(X) = np og Var(X) = np(1−p)
• Anvende normaltilnærmelsen (De Moivre-Laplace) når np ≥ 5 og n(1−p) ≥ 5
• Bruge binomialfordelingen til simpel hypoteseprøvning (er en mønt fair?)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn sandsynligheden for at få netop 3 succeser ud af 10 forsøg med succesandel 0,3
• Forklar, hvilke betingelser der skal være opfyldt, for at en situation kan beskrives med en binomialfordeling
• Beregn middelværdi og varians for en binomialfordeling med givne værdier af n og p

Træningsforslag

• En fair mønt kastes 10 gange. Beregn P(X=4) og sammenlign med CAS (binomPdf).
• Et lægemiddel virker for 80% af patienter. For 50 patienter: find E(X) og σ, og beregn P(X ≥ 45).
• En multiple choice-prøve har 20 spørgsmål med 4 svarmuligheder. Find sandsynligheden for at bestå (mindst 10 rigtige) ved ren gætning.
• Undersøg om en mønt der giver 70 plat ud af 100 kast er "fair" ved at beregne en z-værdi.

Brobygning

Binomialfordelingen er bindeleddet mellem kombinatorik og normalfordeling — og forbereder direkte til χ²-test og generel hypoteseprøvning.