Eksponential- og potensfunktioner — vækstrate, fordoblingstid

Matematik A · STX · A-niveau · Algebra og funktioner

🧮 Eksponential- og potensfunktioner — vækstrate, fordoblingstid

Eksponentialfunktion: f(x) = b·a^x, hvor a > 0 og a ≠ 1. a = vækstfaktor. Vækstrate r = a - 1 (procentvis ændring per enhed x). Fordoblingstid T₂ (når a > 1): T₂ = ln(2)/ln(a). Halveringstid T½ (når a < 1): T½ = -ln(2)/ln(a).

Eksempel — kapital med renters rente: K(n) = K₀·(1+r)^n. K₀ = 10.000 kr. r = 5%/år. T₂ = ln(2)/ln(1,05) = 14,2 år.

Naturlig form: f(x) = b·e^(kx), hvor k = vækstkonstant.

Sammenhæng: a = e^k, så k = ln(a). Hvis a = 1,05: k = ln(1,05) = 0,0488 (4,88% kontinuerlig vækst).

Anvendelser

bakteriekultur, radioaktivt henfald (¹⁴C halveringstid 5.730 år), befolkningsvækst (kort sigt), sammensat rente, smitsomme sygdomme.

Potensfunktion: f(x) = b·x^a (modsat eksponentiel hvor x er i eksponenten).

Eksempel: Keplers 3. lov T² ∝ R³ → T(R) = √a·R^(3/2).

Linearisering af potensfunktion: log y = log b + a·log x. Plot log y mod log x → ret linje (log-log-plot).

Eksempel-beregning: bakteriekultur N(t) = 100·2^t (t i timer). Hvor mange efter 8 timer? N = 100·2^8 = 25.600. Hvornår er der 1 mio.? 1.000.000 = 100·2^t → t = log(10.000)/log(2) = 13,3 timer.

CAS: ExpReg (Maple), regression-funktion (GeoGebra).

Bemærk: eksponentiel vækst er IKKE bæredygtig på lang sigt — alle eksponentielle modeller flader ud (logistisk model).

Læringsmål

• Bestemme vækstfaktor, vækstrate og fordoblings-/halveringstid for eksponentielle funktioner
• Omskrive mellem formerne f(x) = b·a^x og f(x) = b·e^(kx)
• Skelne eksponential- og potensfunktioner og deres grafiske forskelle
• Linearisere potensfunktioner ved log-log-plot
• Anvende eksponentielle modeller på rente, befolkningsvækst og radioaktivt henfald

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn fordoblingstiden for en bestand, der vokser med 7% om året
• Bestem forskriften for en eksponentiel funktion gennem punkterne (0,200) og (3,400)
• Forklar forskellen mellem, hvordan en eksponentialfunktion og en potensfunktion vokser, ved at sammenligne deres grafer

Træningsforslag

• En bakteriekultur fordobles hver 3. time. Opstil f(t), og beregn antallet efter 12 timer.
• Omskriv f(x) = 100·1,08^x til formen b·e^(kx), og find k.
• Find halveringstiden for ¹⁴C ud fra dets henfaldskonstant, og forklar brugen i kulstof-14-datering.
• Brug Keplers 3. lov T² ∝ R³ til at finde T for en planet med R = 4 (jordens radius = 1).

Brobygning

Eksponentialfunktioner differentieres som (b·a^x)' = b·a^x·ln(a) — centralt i Differentialregning — og indgår i Differentialligninger (eksponentiel og logistisk vækst).