Trigonometriske funktioner (sin, cos, tan)

Matematik A · STX · A-niveau · Algebra og funktioner

🧮 Trigonometriske funktioner (sin, cos, tan)

Trigonometriske funktioner beskriver forhold i retvinklede trekanter og cirkulære bevægelser.

Definitioner i retvinklet trekant: sin(α) = modstående/hypotenusen. cos(α) = hosliggende/hypotenusen. tan(α) = modstående/hosliggende = sin(α)/cos(α).

Enhedscirkelen: sin(α) = y-koordinat. cos(α) = x-koordinat.

Vinkler: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Værdier: sin(0°)=0, sin(30°)=½, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2, sin(90°)=1.

Radianer vs. grader: 180° = π radianer. CAS bruger typisk radianer.

Hovedlove:

1. sin² + cos² = 1.

2. sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

3. cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).

4. sin(2α) = 2·sin(α)·cos(α).

Cosinusrelationen (vilkårlig trekant): c² = a² + b² - 2ab·cos(C).

Sinusrelationen: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).

Periodisk natur: sin og cos har periode 2π. tan har periode π.

Differentiation: (sin x)' = cos x. (cos x)' = -sin x.

Integration: ∫sin x dx = -cos x + C.

Anvendelser

opmåling, navigation, fysik (svingninger, bølger), astronomi, elektroteknik (vekselspænding U(t) = U₀·sin(2π·f·t)), Fourier-analyse.

Eksempel — pendul: x(t) = A·sin(ωt + φ).

Inverse trig: arcsin, arccos, arctan.

Klassisk skole-eksempel: kig på et tårn fra 50 m afstand med vinkel 30°. Højde = 50·tan(30°) = 28,9 m.

Vidste du at...

🎵 Lyd og musik er trigonometri! Hver tone er en sinus-bølge med specifik frekvens.

📍 GPS-system bruger trigonometri til at beregne din position fra mindst 4 satellitter.

🌍 Trigonometri blev opfundet af hindu-matematikere i Indien for ca. 1500 år siden — ordet "sinus" stammer fra latinsk oversættelse af et sanskrit-ord.

Læringsmål

• Definere sin, cos og tan ud fra retvinklet trekant og enhedscirklen
• Konvertere mellem grader og radianer
• Anvende sinus- og cosinusrelationerne til at løse vilkårlige trekanter
• Anvende sammenhængen sin²(x) + cos²(x) = 1 og additionsformlerne
• Beskrive periodiske fænomener (svingninger, vekselspænding) med trigonometriske funktioner

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn sin(30°), cos(60°) og tan(45°) uden lommeregner
• Tegn graferne for sin(x) og cos(x) i samme koordinatsystem og beskriv ligheder og forskelle
• Brug en trigonometrisk funktion til at modellere en periodisk størrelse, fx temperatur over et døgn

Træningsforslag

• Beregn sin, cos og tan for 0°, 30°, 45°, 60° og 90° udenad, og forklar med enhedscirklen.
• Løs en vilkårlig trekant med to kendte sider og en vinkel ved hjælp af cosinusrelationen.
• Konvertér 150° og 7π/6 mellem grader og radianer.
• Modellér en pendulsvingning x(t) = A·sin(ωt), og find perioden for ω = 2.

Brobygning

De trigonometriske funktioners afledede ((sin x)' = cos x) bruges i differentialregning til at analysere svingninger, og i integralregning til at beregne arealer under bølgefunktioner.