Beregne areal under graf og mellem grafer

Matematik B · STX · B-niveau · Integralregning (basisniveau)

🧮 Beregne areal under graf og mellem grafer

Bestemt integral = areal under en graf.

Hovedformel: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), hvor F er en stamfunktion til f. Hvis f(x) ≥ 0 på [a, b]: integralet = areal mellem grafen + x-aksen.

Hvis f(x) < 0: integralet er NEGATIVT (= "minus areal"). For totalt areal i sådanne tilfælde: brug |f(x)| eller del op i intervaller.

Eksempler — basis-areal-beregning:

1. Areal under f(x) = x² mellem x=0 og x=2: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,67.

2. Areal under f(x) = sin(x) mellem 0 og π: ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) − (-cos(0)) = -(-1) − (-1) = 2.

3. Areal under f(x) = 3x mellem 1 og 4: ∫₁⁴ 3x dx = [3x²/2]₁⁴ = 24 − 1,5 = 22,5.

Areal MELLEM 2 grafer: hvis f(x) ≥ g(x) på [a, b], så A = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.

Procedure:

1. Find skæringspunkter mellem graferne (f(x) = g(x)). Disse er a + b.

2. Bestem hvilken graf er ØVERST i intervallet.

3. Integrér forskellen.

Eksempel — areal mellem 2 grafer: f(x) = x² + 2 og g(x) = 2x + 5. Skæring: x² + 2 = 2x + 5 → x² − 2x − 3 = 0 → x = -1 eller x = 3. I intervallet [-1, 3] er g(x) ØVERST (tjek ved at indsætte x=0: g(0)=5 > f(0)=2). A = ∫₋₁³ (g(x) − f(x)) dx = ∫₋₁³ (2x + 5 − x² − 2) dx = ∫₋₁³ (-x² + 2x + 3) dx = [-x³/3 + x² + 3x]₋₁³ = (-9 + 9 + 9) − (1/3 + 1 − 3) = 9 − (-5/3) = 32/3 ≈ 10,67.

Hvis grafer KRYDSER hinanden flere gange: del op i intervaller, integrér hver for sig.

Areal med x-aksen + nulpunkter: hvis f(x) skifter fortegn på [a, b], skal man dele op.

Eksempel: ∫₋₂³ x dx = [x²/2]₋₂

Læringsmål

• Beregne areal under en graf med ∫ₐᵇ f(x)dx for f(x) ≥ 0
• Håndtere negative funktionsværdier ved at opdele intervaller eller bruge |f(x)|
• Finde skæringspunkter mellem to grafer og afgøre hvilken graf der ligger øverst
• Beregne areal mellem to grafer som ∫ₐᵇ(f(x) − g(x))dx
• Opdele integralet i flere intervaller når graferne krydser hinanden flere gange

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn arealet afgrænset af kurven f(x) = x² og x-aksen fra x = -2 til x = 2
• Beregn arealet mellem kurverne f(x) = x² og g(x) = x
• Forklar, hvad der sker, hvis man integrerer en funktion, der er negativ på dele af intervallet

Træningsforslag

• Beregn arealet under f(x) = x² mellem x = 0 og x = 2.
• Find arealet mellem f(x) = x² + 2 og g(x) = 2x + 5 ved først at finde skæringspunkterne.
• Beregn ∫₋₂³ x dx, og forklar hvorfor resultatet ikke er det samlede areal mellem grafen og x-aksen.
• Skitsér en situation hvor to grafer krydser hinanden to gange, og opstil (uden at regne færdigt) de integraler der skal bruges for at finde det samlede areal.

Brobygning

Arealberegning under og mellem grafer er en af de hyppigste opgavetyper i DP2 — og udvides på A-niveau til rumfang ved omdrejning om en akse.