Beregne vektorlængde og sum

Matematik B · STX · B-niveau · Vektorer i 2D

🧮 Beregne vektorlængde og sum

Vektor i 2D = pil med længde + retning.

Notation: a⃗ = (a₁, a₂) eller (x, y).

Vektor-sum: (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂). Geometrisk: parallelogram-konstruktion eller kæde-regel (læg pil-mod-pil). Eksempel: (3, 2) + (1, 4) = (4, 6).

Vektor-differens: (a₁, a₂) − (b₁, b₂) = (a₁-b₁, a₂-b₂).

Skalar-multiplikation: k·(a₁, a₂) = (k·a₁, k·a₂). Eksempel: 3·(2, 1) = (6, 3).

Vektorlængde (modulus, |a⃗|): |a⃗| = √(a₁² + a₂²). Klassisk Pythagoras. Eksempel: a⃗ = (3, 4) → |a⃗| = √(9+16) = √25 = 5.

Enhedsvektor (vektor med længde 1): a⃗/|a⃗|. Eksempel: (3, 4)/5 = (0,6, 0,8).

Stedsvektor: vektor fra origo (0,0) til punkt P(a₁, a₂).

Vektor mellem 2 punkter: AB⃗ = B - A = (b₁-a₁, b₂-a₂).

Anvendelser

kraft i fysik (F⃗ = m·a⃗), hastighed (v⃗ = (vx, vy)), translation i geometri, retningsvektor for linjer.

Eksempel — fysik: en bil bevæger sig med hastighed (12, 5) m/s. Find total fart: |v⃗| = √(144+25) = √169 = 13 m/s. Retning: arctan(5/12) ≈ 22,6° fra x-aksen.

3D-vektorer (på A-niveau): (a₁, a₂, a₃) med længde √(a₁²+a₂²+a₃²).

Klassisk eksamenstype: givet 2 punkter A, B → find AB⃗, |AB⃗|, midtpunkt.

CAS: GeoGebra håndterer vektorer direkte med a = (3, 4) syntaks.

Klassiske fejl

forveksling af vektor + skalar, forkert tegn ved subtraktion.

Vektor: a = (a₁, a₂).

Længde: |a| = √(a₁² + a₂²).

Sum: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂).

Eksempel: a = (3, 4). |a| = √(9+16) = 5.

Læringsmål

• Beregne vektorsum, -differens og skalarmultiplikation i 2D
• Beregne vektorlængde |a⃗| = √(a₁²+a₂²) ved hjælp af Pythagoras
• Finde enhedsvektor og vektor mellem to punkter AB⃗ = B − A
• Anvende vektorer på hastighed og kraft i fysik
• Bruge CAS til vektorberegninger

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn længden af vektoren (3, 4) og vektorsummen af (2, 5) og (-1, 3)
• Forklar, hvad det geometrisk betyder at addere to vektorer
• Find en vektor med samme retning som (3, 4) men med længde 1 (enhedsvektor)

Træningsforslag

• Beregn (3,2) + (1,4) og (3,2) − (1,4), og tegn vektorerne i et koordinatsystem.
• Find længden af a⃗ = (3,4) og bestem enhedsvektoren i samme retning.
• En bil bevæger sig med hastighed (12,5) m/s — find farten |v⃗| og retningsvinklen.
• Givet A(2,1) og B(5,7) — find AB⃗, |AB⃗| og midtpunktet af AB.

Brobygning

Vektorlængde og -sum er grundlaget for skalarprodukt og determinant i de næste emner — og udvides til 3D-vektorer med krydsprodukt på A-niveau.