Eksponentiel model (vækst og henfald)

Matematik B · STX · B-niveau · Modellering

🧮 Eksponentiel model (vækst og henfald)

Eksponentiel model: y = b·a^x, hvor b = startværdi, a = fremskrivningsfaktor.

Vækst (a > 1): bakterie, befolkning, kapital.

Henfald (0 < a < 1): radioaktivitet, koffein-nedbrydning, kølende kaffe.

Karakteristika: konstant procentvis ændring per tidsenhed. Vækstrate r = a − 1.

Eksempel — population: f(x) = 100·1,2^x. Start 100, vokser 20% per time. Efter 5 timer: f(5) = 100·1,2⁵ = 248,8.

Eksempel — radioaktivt henfald: N(t) = N₀·(1/2)^(t/T_½). For C-14 (T_½ = 5.730 år) — bruges til datering af organisk materiale (Willard Libby, Nobel 1960).

Eksempel — kapitalfremskrivning: K_n = K_0·(1+r)^n. 10.000 kr ved 5% rente i 10 år: K_10 = 10.000·1,05¹⁰ = 16.289 kr.

Linearisering: tag log på begge sider — log y = log b + x·log a. Lineær i log-y vs. x.

Fordoblingstid: T₂ = log(2)/log(a).

Halveringstid: T_½ = log(0,5)/log(a).

Eksempel — COVID-19: R₀ = 2,5 → fordoblingstid ~3 dage. Eksponentiel vækst i pandemi indtil intervention.

CAS: GeoGebra Fit[ExpFunction], WordMat eksponentiel regression.

Klassisk fejl: ekstrapolere uendeligt — virkeligheden begrænses af logistisk model (S-kurve).

B-niveau-fokus

anvend modellen + beregn vækstrate + fordoblingstid + halveringstid + brug CAS til at finde a og b fra data.

Læringsmål

• Opstille modellen y = b·a^x og skelne mellem vækst (a > 1) og henfald (0 < a < 1)
• Beregne vækstrate r = a − 1 samt fordoblingstid T₂ = log(2)/log(a) og halveringstid
• Linearisere en eksponentiel model ved at tage log på begge sider (log y = log b + x·log a)
• Anvende modellen på radioaktivt henfald (C-14-datering) og kapitalfremskrivning K_n = K₀(1+r)^n
• Bruge CAS til at finde a og b fra data og diskutere grænserne for ekstrapolation (logistisk model som alternativ)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Opstil en eksponentiel vækstmodel for befolkningstallet i en by, der vokser 2% om året
• Brug en eksponentiel model til at bestemme halveringstiden for et radioaktivt stof med en given henfaldskonstant
• Forklar, hvad det vil sige, at en eksponentiel models fremskrivningsfaktor er under 1

Træningsforslag

• Beregn fordoblingstiden for f(x) = 100·1,2^x og forklar betydningen af tallet 1,2.
• En kop kaffe køler eksponentielt — opstil en model og beregn halveringstiden for temperaturforskellen til omgivelserne.
• Beregn hvor meget 10.000 kr vokser til efter 10 år ved 5% årlig rente, og udled fordoblingstiden ved hjælp af log.
• Diskutér hvorfor COVID-19 først fulgte en eksponentiel model og senere en logistisk (S-kurve) model.

Brobygning

Fordoblings- og halveringstid samt linearisering via log er centrale også i Matematik A's behandling af differentialligninger og logistisk vækst.