Eksponentialfunktion

Matematik C (HHX) · HHX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Eksponentialfunktion

Eksponentialfunktion f(x) = b·a^x, hvor a > 0, a ≠ 1, b > 0 (startværdi).

Grundtræk:

1. f(0) = b = startværdi (graf skærer y-akse i (0, b)).

2. a = fremskrivningsfaktor = hvor meget funktionen ganges når x stiger 1.

3. a > 1 → eksponentiel VÆKST (stigende). 0 < a < 1 → eksponentielt FALD (aftagende).

Vækstrate: r = a − 1. Eksempel: a = 1,2 → r = 0,2 = 20% pr. periode.

Naturlig eksponentialfunktion: e^x, hvor e ≈ 2,71828 (Eulers tal). Mest fundamental — egen afledte: (e^x)' = e^x.

Eksempel — befolkningsvækst: f(x) = 100·1,2^x. Efter 5 år: f(5) = 100·1,2⁵ = 248,8. Vækstrate 20% pr. år.

Fordoblingstid: T₂ = log(2)/log(a) = ln(2)/ln(a). For a = 1,2: T₂ = log(2)/log(1,2) ≈ 3,8 år.

Halveringstid: T_½ = log(0,5)/log(a) (for 0 < a < 1). Eksempel: radioaktiv halvering — Cs-137 halveringstid 30 år.

Eksponentiel vs. lineær vækst: lineær vokser med konstant størrelse pr. periode. Eksponentiel vokser med konstant FAKTOR. På lang sigt vokser eksponentiel ALTID hurtigere.

Anvendelser

rente-vækst (kapitalfremskrivning), befolkning, virus-spredning, radioaktivt henfald, indlæringskurver.

Linearisering (regression): tag log på begge sider — log y = log b + x·log a. Lineær i log-y vs. x → kan finde a, b ved lineær regression.

CAS: WordMat, GeoGebra Fit[ExpFunction].

HHX-fokus

anvend på rente-vækst, befolkning, BNP-vækst.

Vidste du at...

🦠 Eksponentiel vækst kom på folks læber under COVID-19. R0-værdien (smitte-faktor) skulle under 1,0 for at undgå eksponentiel vækst. Selv R0 = 1,2 → 100 smittede bliver til 10.000+ på 25 generationer (~3 mdr).

📊 Moores lov: computer-chipens transistor-antal fordobles hver 2 år (Gordon Moore, 1965). Det er klassisk eksponentiel vækst. Fra 1971 (2.300 transistorer i Intel 4004) til 2024 (100 mia transistorer i Apple M3) = en faktor 40 mio.

🎵 Spotify's brugerbase voksede eksponentielt: 100M (2016) → 200M (2019) → 400M (2021) → 600M (2024). En klassisk S-kurve der nu flader ud — markedet er ved at være mættet.

Læringsmål

• Opstille og fortolke eksponentialfunktionen f(x) = b · ax
• Bestemme vækstraten og halveringstid/fordoblingstid
• Anvende eksponentialfunktioner på rentesrente, befolkningsvækst og radioaktivt henfald
• Linearisere eksponentialfunktioner med logaritme-transformation

Sådan kan du arbejde med emnet

• En bestand af bakterier fordobles hver time — opstil en eksponentialfunktion for bestanden og beregn, hvor mange der er efter 5 timer
• Forklar, hvad det betyder, at en funktion er eksponentielt voksende eller aftagende, og giv et eksempel på hver
• En bils værdi falder med 15% om året — opstil en eksponentialfunktion for bilens værdi og beregn værdien efter 4 år

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.