Lineær funktion

Matematik C (HHX) · HHX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Lineær funktion

Differentialkvotient = matematisk værktøj til at beregne øjeblikkelig ændringsrate af en funktion. På HHX A-niveau bruges differentialregning bredt — fra rent matematik til økonomi (marginal-analyse).

Definitionen — differentialkvotient ved et punkt:

f'(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Geometrisk: hældning af tangent-linjen til grafen i punktet (x₀, f(x₀)).

Den afledede funktion f'(x): differentialkvotienten betragtet som funktion af x.

Differentiations-regler:

1.

Konstant: f(x) = c → f'(x) = 0.

2.

Potens-funktion: f(x) = x^n → f'(x) = n·x^(n-1).

3.

Konstant gange funktion: (c·f)' = c·f'.

4.

Sum: (f + g)' = f' + g'.

5.

Produkt: (f·g)' = f'·g + f·g'.

6.

Kvotient: (f/g)' = (f'·g - f·g') / g².

7.

Sammensat funktion (kæderegel): (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

Standardafledede:

• f(x) = x → f'(x) = 1.
• f(x) = x² → f'(x) = 2x.
• f(x) = x³ → f'(x) = 3x².
• f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x).
• f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x².
• f(x) = e^x → f'(x) = e^x.
• f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x.
• f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x).
• f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x).

Eksempler

f'(x) = 6x + 5 (anvend potens- + sum-reglen).

f'(x) = 2·(x²+3) + (2x+1)·2x = 2x² + 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x + 6.

f'(x) = (2x·(x-2) - (x²+1)·1) / (x-2)² = (x² - 4x - 1) / (x-2)².

f'(x) = 5·(3x²+1)⁴·6x = 30x·(3x²+1)⁴.

f'(x) = 2·e^(2x).

Anvendelser

1. Tangentlinjer:

Hvis f'(x₀) = m, så er tangenten i (x₀, f(x₀)):

y = f(x₀) + m·(x - x₀).

Centrale begreber

• f(x) = x → f'(x) = 1.
• f(x) = x² → f'(x) = 2x.
• f(x) = x³ → f'(x) = 3x².
• f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x).
• f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x².
• f(x) = e^x → f'(x) = e^x.
• f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x.
• f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x).

Læringsmål

• Bestemme hældning og skæringspunkt for en lineær funktion f(x) = ax + b
• Tegne en lineær funktion og fortolke hældning og konstantled
• Anvende lineære funktioner på prissætning, omsætning og omkostning
• Finde to lineære funktioners skæringspunkt og fortolke det

Sådan kan du arbejde med emnet

• Find forskriften for en lineær funktion, der går gennem punkterne (0, 5) og (4, 13)
• En taxa har en startpris på 50 kr. og koster 12 kr. pr. kilometer — opstil en lineær funktion for prisen og beregn prisen for en tur på 8 km
• Tegn grafen for f(x) = 3x - 6 og forklar, hvad konstanten og hældningen betyder for grafens udseende

Brug formelsamling og gennemarbejdede opgaver. Stil spørgsmål om bevisførelse og udregningstrin.