Kapitalfremskrivning K_n = K_0·(1+r)^n

Matematik C · STX · C-niveau · Renteformler og økonomi

🧮 Kapitalfremskrivning K_n = K_0·(1+r)^n

Kapitalfremskrivning = beregning af hvor meget en startkapital vokser til efter n perioder med rente r.

Hovedformel: K_n = K_0 · (1+r)^n.

Variabler: K_0 = startkapital, r = rente per periode (decimal), n = antal perioder, K_n = slutkapital.

Eksempel 1: 10.000 kr investeret til 5% rente i 10 år: K_10 = 10.000·1,05¹⁰ = 16.289 kr.

Eksempel 2: 50.000 kr til 3% i 20 år: K_20 = 50.000·1,03²⁰ = 90.306 kr.

Bagud-beregning — find n (hvor lang tid?): n = log(K_n/K_0)/log(1+r).

72-reglen (overslag): kapital fordobles ved n ≈ 72/r% år. Ved 6% rente: ~12 år. Ved 8%: ~9 år.

Effektiv rente: hvis nominel rente r_n med m gange-tilskrivning per år, så effektiv rente = (1+r_n/m)^m − 1. Eksempel: 12% nominel årligt, månedlig tilskrivning → effektiv = (1+0,12/12)¹² − 1 = 12,68%.

Inflation: real-rente = nominel-rente − inflation. Hvis bank-rente 3%, inflation 4% → REAL-tab på 1%.

Anvendelser

opsparing, investering, lån, pension.

CAS: GeoGebra (regneark), WordMat. Excel =FV() + =PV() + =NPER().

Klassisk fejl: forveksle r og r% (5% er 0,05 i formel, ikke 5).

C-niveau: typisk eksamensopgave — beregn slutkapital, find n, sammenlign 2 investeringsmuligheder.

Læringsmål

• Anvende kapitalfremskrivningsformlen K_n = K_0(1+r)^n
• Finde K_0, r eller n givet de andre variable
• Forstå renters rente vs. simpel rente
• Anvende 72-reglen til hurtig fordoblingstid
• Beregne annuitet for opsparing/lån
• Skelne nominel og real rente

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn værdien af 10.000 kr efter 5 år med en årlig rente på 3%
• Find ud af, hvor mange år det tager at fordoble en kapital med 4% rente
• Forklar hvad hver af bogstaverne K_0, r og n betyder i formlen

Træningsforslag

• Beregn slutkapitalen, hvis 10.000 kr investeres til 5% rente i 10 år, og kontrollér med CAS.
• Find n, hvis du vil have 50.000 kr til at vokse til 90.306 kr ved 3% rente.
• En bank tilbyder 12% nominel rente med månedlig tilskrivning — beregn den effektive rente.
• Forklar forskellen mellem nominel og real rente, hvis bankrenten er 3% og inflationen er 4%.

Brobygning

Kapitalfremskrivning er grundlaget for annuitetsformlen i næste emne, hvor lån og opsparing med løbende ydelser behandles.