Eksponentialfunktion f(x) = b·a^x

Matematik C · STX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Eksponentialfunktion f(x) = b·a^x

Eksponentialfunktion f(x) = b·a^x, hvor a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Grundtræk:

1. f(0) = b = startværdi (graf skærer y-akse i (0, b)).

2. a = fremskrivningsfaktor = hvor meget funktionen ganges når x stiger 1.

3. a > 1 → eksponentiel VÆKST (stigende). 0 < a < 1 → eksponentielt FALD (aftagende).

Vækstrate: r = a − 1. Eksempel: a = 1,2 → r = 0,2 = 20% pr. periode.

Naturlig eksponentialfunktion: e^x, hvor e ≈ 2,71828 (Eulers tal). Egen afledte: (e^x)' = e^x.

Eksempel — befolkningsvækst: f(x) = 100·1,2^x. Efter 5 år: f(5) = 100·1,2⁵ = 248,8. Vækstrate 20% pr. år.

Fordoblingstid: T₂ = log(2)/log(a) = ln(2)/ln(a). For a = 1,2: T₂ ≈ 3,8 år.

Halveringstid: T_½ = log(0,5)/log(a) (for 0 < a < 1). Eksempel: radioaktiv halvering — Cs-137 halveringstid 30 år.

Eksponentiel vs. lineær vækst: lineær vokser med konstant størrelse pr. periode. Eksponentiel vokser med konstant FAKTOR. På lang sigt vokser eksponentiel ALTID hurtigere.

Anvendelser

rente-vækst (kapitalfremskrivning), befolkning, virus-spredning, radioaktivt henfald, indlæringskurver, koffein-nedbrydning.

Linearisering (regression): tag log på begge sider — log y = log b + x·log a. Lineær i log-y vs. x → kan finde a, b ved lineær regression.

CAS: WordMat, GeoGebra Fit[ExpFunction].

C-niveau-fokus

anvend på rente-vækst, befolkning, simple modeller — ikke afledning eller integraler.

Læringsmål

• Beherske eksponentialfunktionens form f(x) = b·a^x
• Skelne vækst (a > 1) og henfald (0 < a < 1)
• Beregne vækstrate, fordoblingstid og halveringstid
• Bestemme eksponentialfunktion fra to punkter
• Anvende på renters rente, befolkning, henfald
• Anvende CAS til eksponentiel regression

Sådan kan du arbejde med emnet

• Bestem forskriften for en eksponentiel funktion, der går gennem punkterne (0,100) og (1,110)
• Beregn f(5) for funktionen f(x) = 50 · 1,08^x
• Forklar hvad konstanterne b og a betyder for grafens udseende

Træningsforslag

• Bestem f(x) = b·a^x ud fra punkterne (0, 100) og (5, 248,8), og fortolk b og a.
• Beregn fordoblingstiden for f(x) = 100·1,2^x, og forklar hvad tallet betyder i praksis.
• En radioaktiv kilde har halveringstid 30 år (Cs-137) — opstil modellen og beregn hvor meget der er tilbage efter 90 år.
• Brug CAS til at lave en eksponentiel regression på et selvvalgt datasæt, og aflæs a og b.

Brobygning

Eksponentialfunktioner med fordoblings- og halveringstid genbruges direkte i emnet "Vækstrate, fordoblings- og halveringstid" og i modellering med CAS senere i pensum.