Potensfunktion f(x) = b·x^a

Matematik C · STX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Potensfunktion f(x) = b·x^a

Potensfunktion = funktion på form f(x) = b·x^a, hvor a, b = konstanter.

Egenskaber afhænger af a:

• (a) a > 1: stiger HURTIGERE end lineært (f(x) = x², x³ vokser eksplosivt).
• (b) 0 < a < 1: stiger LANGSOMMERE end lineært (f(x) = √x = x^0,5).
• (c) a < 0: faldende (f(x) = 1/x = x^(-1) hyperbel).
• (d) a = 0: konstant funktion f(x) = b.
• (e) a = 1: lineær.

Klassiske potensfunktioner:

1. f(x) = x² (kvadrat): parabel, symmetrisk om y-akse. Areal-formler.

2. f(x) = x³ (kubik): S-kurve gennem origo. Volumen-formler.

3. f(x) = √x = x^0,5: kun for x ≥ 0. Definitionsdomæne ℝ⁺.

4. f(x) = 1/x = x^(-1): hyperbel. Definitionsdomæne ℝ \ {0}.

5. f(x) = 1/x²: omvendt kvadrat. Bruges i tyngdekraft + lys-intensitet.

Definitionsdomæne:

• (a) Når a positiv hel: alle x.
• (b) Når a negativ: x ≠ 0.
• (c) Når a brøk med lige nævner (√x, ⁴√x): x ≥ 0.
• (d) Når a brøk med ulige nævner (³√x): alle x.

Bestem ligningen fra 2 punkter: hvis (x₁, y₁) + (x₂, y₂) er på grafen for f(x) = b·x^a, så: a = log(y₂/y₁)/log(x₂/x₁), b = y₁/x₁^a.

Eksempel: punkter (2, 8) + (4, 64). a = log(64/8)/log(4/2) = log(8)/log(2) = 3. b = 8/2³ = 1. f(x) = x³.

Forholdet i potensfunktion: hvis x ganges med konstant c → y ganges med c^a.

Eksempel: f(x) = x². Hvis x fordobles (c=2), så y kvadrupleres (2²=4). Hvis x tredobles, så y nidobles (3²=9).

Anvendelser — naturvidenskabelige formler:

1.

Areal af kvadrat: A = s².

2.

Volumen af kugle: V = (4/3)π·r³.

Læringsmål

• Forstå hvordan eksponenten a i f(x) = b·x^a afgør funktionens vækst (a>1, 0<a<1, a<0)
• Genkende klassiske potensfunktioner: x², x³, √x og 1/x og deres definitionsmængder
• Bestemme b og a ud fra to punkter på grafen: a = log(y₂/y₁)/log(x₂/x₁)
• Forstå skaleringsegenskaben: hvis x ganges med c, ganges y med c^a
• Anvende potensfunktioner på naturvidenskabelige formler (areal, volumen)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Bestem konstanterne b og a for en potensfunktion, der går gennem punkterne (1,4) og (2,16)
• Beregn f(3) for funktionen f(x) = 2 · x^3
• Forklar hvordan grafen for en potensfunktion ændrer udseende, når a er større eller mindre end 1

Træningsforslag

• Bestem f(x) = b·x^a ud fra punkterne (2,8) og (4,64), og kontrollér med CAS.
• Forklar hvad der sker med y, hvis x fordobles, for f(x) = x² og for f(x) = x³.
• Angiv definitionsmængden for f(x) = √x, f(x) = 1/x og f(x) = ³√x, og forklar forskellene.
• Forklar hvorfor formlen for kuglens volumen V = (4/3)πr³ er en potensfunktion, og angiv b og a.

Brobygning

At kunne skelne potensfunktioner fra eksponentialfunktioner via log-log-/semi-log-plot er centralt, når man senere skal vælge model med CAS.