Lineær funktion f(x) = ax + b

Matematik C · STX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Lineær funktion f(x) = ax + b

Lineær funktion = funktion der DANNER EN RET LINJE i et koordinatsystem.

Generel form: f(x) = a·x + b, hvor a = hældning (slope), b = skæring med y-aksen (y-intercept).

Egenskaber

• (a) Hældning a = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Beskriver hvor stejl linjen er + retning (positiv = stiger, negativ = falder).
• (b) Y-skæring b = funktionsværdien når x = 0. Skæringspunktet er (0, b).
• (c) X-skæring (nulpunkt): f(x) = 0 → x = -b/a (når a ≠ 0).
• (d) Lineær = KONSTANT VÆKSTRATE — funktionen ændres med samme mængde a for hver enhed x.

Eksempler

1. f(x) = 2x + 3: hældning 2, y-skæring 3. Punkter: (0,3), (1,5), (2,7), (-1,1).

2. f(x) = -0,5x + 4: faldende linje. Punkter: (0,4), (2,3), (4,2), (8,0).

3. f(x) = 5 (konstant): vandret linje, hældning 0.

4. x = 7 (lodret): IKKE en funktion i klassisk forstand (samme x giver flere y).

Bestem ligningen for en linje (forskellige givne data):

• (a) 2 punkter (x₁, y₁) + (x₂, y₂): hældning a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Y-skæring b = y₁ − a·x₁.

Eksempel: punkter (1,3) + (4,9). a = (9−3)/(4−1) = 2. b = 3 − 2·1 = 1. f(x) = 2x + 1.

• (b) 1 punkt + hældning: f(x) = a·x + (y − a·x).
• (c) Hældning + y-skæring: direkte i form f(x) = ax + b.

Anvendelser — modellering:

1.

Pris vs. mængde: total pris = stykpris × mængde + fast pris. Eks: taxi: 50 kr start + 10 kr/km. f(x) = 10x + 50.

2.

Telefon-abonnement: 199 kr/måned + 0,50 kr/SMS. f(x) = 0,5x + 199.

3.

Lønberegning: 13

Læringsmål

• Identificere hældning a og y-skæring b ud fra en lineær funktions forskrift eller graf
• Beregne hældning a = Δy/Δx mellem to punkter, og bestemme nulpunktet x = −b/a
• Bestemme forskriften for en linje ud fra to punkter eller ét punkt og hældningen
• Forstå at lineær funktion svarer til konstant vækstrate (samme ændring per enhed x)
• Anvende lineær modellering på pris-/mængde-sammenhænge (fx taxi, abonnementer)

Sådan kan du arbejde med emnet

• Bestem forskriften for den rette linje gennem punkterne (0,3) og (4,11)
• Beregn hældningen for en linje, der går fra (2,5) til (6,13), og forklar hvad hældningen betyder
• Tegn grafen for f(x) = -2x + 6 og aflæs nulpunktet

Træningsforslag

• Find hældning og y-skæring for linjen gennem punkterne (1,3) og (4,9), og opskriv f(x).
• En taxitur koster 50 kr i startgebyr plus 10 kr/km — opstil f(x), og beregn prisen for 12 km.
• Beregn nulpunktet for f(x) = -0,5x + 4, og forklar hvad det betyder grafisk.
• Forklar hvorfor x = 7 (en lodret linje) ikke er en funktion.

Brobygning

Lineær regression i kategorien Statistik bygger videre på forståelsen af hældning og skæring fra lineære funktioner.