Vækstrate, fordoblings- og halveringstid

Matematik C · STX · C-niveau · Funktioner og grafer

🧮 Vækstrate, fordoblings- og halveringstid

Vækstrate, fordoblingstid + halveringstid = nøglebegreber for eksponentielle modeller f(x) = b·a^x.

Vækstrate r: r = a − 1. Hvis a > 1 → vækst (r positiv). Hvis 0 < a < 1 → fald (r negativ).

Eksempel: a = 1,2 → r = 0,2 = 20% per periode (vækst). a = 0,9 → r = -0,1 = -10% (fald).

Fordoblingstid T₂ (kun ved vækst, a > 1): den tid der tager før funktionsværdien fordobles.

Formel: T₂ = log(2)/log(a) = ln(2)/ln(a).

Eksempel: investering vokser 7% årligt (a = 1,07). T₂ = log(2)/log(1,07) ≈ 10,2 år. Investeringen fordobles ca. hver 10 år.

72-reglen (overslag): T₂ ≈ 72/r%. Ved 7%: T₂ ≈ 72/7 ≈ 10,3 år. Praktisk for hurtig hovedregning.

Halveringstid T_½ (kun ved fald, 0 < a < 1): tiden før funktionsværdien halveres.

Formel: T_½ = log(0,5)/log(a) = ln(0,5)/ln(a).

Eksempel: medicin nedbrydes med a = 0,8 per time → T_½ = log(0,5)/log(0,8) ≈ 3,1 timer. Halv-dosis efter 3,1 t.

Klassiske eksempler — fordoblingstider: BNP-vækst Danmark ~2%/år → T₂ ≈ 35 år. Bakteriel vækst (E. coli) T₂ = 20 min. Kapitalfremskrivning ved 5%: T₂ ≈ 14,2 år.

Klassiske eksempler — halveringstider (radioaktivt henfald): C-14: 5.730 år (datering). I-131: 8 dage (medicinsk). Cs-137: 30 år (Tjernobyl-forurening). Pu-239: 24.100 år.

Anvendelser

rente-vækst, befolkning, virus-spredning (R₀ → fordoblingstid for COVID-19 var ~3 dage), radioaktivt henfald, lægemiddel-nedbrydning, kølende kaffe (Newtons afkølingslov).

CAS: WordMat, GeoGebra. Excel: =LOG(2)/LOG(1+r).

Læringsmål

• Beregne vækstraten r = a − 1 og afgøre om den repræsenterer vækst eller fald
• Beregne fordoblingstid T₂ = log(2)/log(a) for vækst (a > 1)
• Beregne halveringstid T_½ = log(0,5)/log(a) for fald (0 < a < 1)
• Anvende 72-reglen som hurtigt overslag for fordoblingstid
• Anvende fordoblings-/halveringstid på rente, befolkning, virus og radioaktivt henfald

Sådan kan du arbejde med emnet

• Beregn fordoblingstiden for en bestand, der vokser med 5% om året
• Beregn halveringstiden for et radioaktivt stof med henfaldsrate 2% pr. time
• Forklar hvordan vækstraten hænger sammen med tallet a i f(x) = b·a^x

Træningsforslag

• En investering vokser 7% årligt — beregn fordoblingstiden både eksakt (med log) og med 72-reglen, og sammenlign.
• Et lægemiddel nedbrydes med a = 0,8 per time — beregn halveringstiden, og forklar hvad den betyder for dosering.
• COVID-19 havde en fordoblingstid på ca. 3 dage tidligt i pandemien — beregn vækstraten r ud fra dette.
• Forklar hvorfor 72-reglen kun er et overslag, og giv et eksempel hvor den afviger fra den eksakte beregning.

Brobygning

Fordoblings- og halveringstid genbruges direkte i kategorien Renteformler og økonomi (kapitalfremskrivning) og i modellering med CAS.